斐波那契数之和的最后一位答案

【问题标题】：Last Digit of the Sum of Fibonacci Numbers斐波那契数之和的最后一位
【发布时间】：2019-05-29 05:14:41
【问题描述】：

我试图找到斐波那契数列总和的最后一位。我将总和计算为F(n+2) - 1。下面的代码工作正常，但对于大数字（例如99999）来说速度很慢。我该如何优化它？

n = int(input())

def last_digit(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n+2):
        a, b = b, a + b
    return (a-1) % 10

print(last_digit(n))

【问题讨论】：

斐波那契数列增长得非常快（指数），这导致 Python 求助于任意精度类型。您将需要模数数学规则以将数字保持在 32/64 位整数范围内。
有一种方法...在下面查看我的答案。

标签： python python-3.x fibonacci largenumber

【解决方案1】：

看这张表：http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html 注意fib(60)最后一位是0和fib(61)最后一位是1，和fib(0)和fib(1)一样，因此从60开始最后一位开始重复，所以你可以计算fib(n%60) 的最后一位数字，而不是 fib(n)。例如，fib(115) 和 fib(55) 的最后一位数字相同，等于 5。

【讨论】：

【解决方案2】：

斐波那契数repeats的末位序列，周期为60。因此，可以将n项和的计算优化为F((n+2) % 60) - 1。此外，要保持在整数范围内，您可以只保留每个术语的最后一位：

def last_digit(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range((n + 2) % 60):
        a, b = b, (a + b) % 10
    return 9 if a == 0 else a - 1

print([last_digit(n) for n in range(1, 11)])

输出：

[1, 2, 4, 7, 2, 0, 3, 4, 8, 3]

【讨论】：

【解决方案3】：

这是专门针对最后一位数字优化的代码：

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    r = 1
    if n < 1:
        return 0
    for i in range(n - 1):
        a, b = b, (a + b)%10
        r += b
        r %= 10
    return r

它的工作原理是只获取下一项的最后一位并将其添加到结果中。然后它获取结果的最后一位并将其设置为自身。它重复，直到它到达术语编号并返回一个数字：D

有趣的事实：在 99 上试试上面的函数。返回 0。999 呢？ 0. 9999？ 0. 继续这个：D

【讨论】：

【解决方案4】：

尝试使用Pisano Period property。如果要计算最后一位，Pisano Period of 10 将是 60。知道了这一点，你可以有一个类似的函数：

def fibonacci_sum(n):

    pisano = 60

    if n < 2: return n

    n %= pisano

    fib_arr = [1,1]
    for _ in range(n):
        fib_arr.append((fib_arr[-1] + fib_arr[-2]) % 10)

    return (fib_arr[-1] - 1) % 10

更多信息请参考saveriogzz Github CS_Curriculum repo。

干杯！

【讨论】：

【解决方案5】：

这是一个简单的 C++ 程序

//outputs last digit of ( sum of fib number till n)
#include<iostream>
using namespace std;

int64_t fib_sum_digit(int64_t n)
{
    int fl[60] ={0};
    fl[0] = 0;
    fl[1] = 1;
   // int64_t sum60 = 1;

    for(int i = 2 ; i<60 ; i++)
    {
        fl[i] = (fl[i-1] +fl[i-2])%10 ; 
        //sum60 += fl[i]; 
    }


    int64_t sum = 0;
    // sum += (sum60*(n/60));               ///sum60%10 always  = 0 ;

    for(int i = 1; i<=(n%60); i++ )
    {
        sum += (fl[i]);
        //cout<<i<<","<<sum<<"->";         ///debug
    }

return sum%10;
}

int main()
{
    int64_t n;
    cin>>n;

    int64_t ans = fib_sum_digit(n);
    cout<<ans;

    return 0;
}

【讨论】：