N选择K的迭代算法，没有重复，顺序很重要

Question

我正在寻找一种迭代算法来获得从一组 N 个元素中提取的 K 个元素的所有排列，没有重复（即没有替换），并且顺序很重要。 我知道排列的数量必须是 N!/(N-K)!。 你有什么想法吗？ 谢谢。

伊万

Answer 1

方法一：

更简单的想法：

由于订单很重要，我们将尝试使用next_permutation algorithm。 next_permutation 函数给出下一个字典顺序唯一的排列。

算法：

1. 创建一个大小等于原始数组大小的新数组 A。
2. 分配最后 k 个数字 1,2,3,..k 以使 k 最后结束。将剩余数字分配为 0。
3. 现在，在使用 next_permutation 迭代排列时，仅选择原始数组中 A > 0 的索引，保持顺序。

正确性说明：

由于在新创建的数组中有 N 个数字，其中 N-k 重复，总的唯一排列变为 N!/(N-k)！这给了我们想要的结果。

示例：

输入：X = [1,2,3], k=2

现在，我们创建 A = [0,1,2]。

所有排列：

[0, 1, 2],
[0, 2, 1],
[1, 0, 2],
[1, 2, 0],
[2, 0, 1],
[2, 1, 0].

从 A[i] > 0 的原始数组中仅选择这些排列的索引 i，这将产生，

[2,3],
[3,2],
[1,3],
[1,2],
[3,1],
[2,1].

如果您希望以上按排序顺序，请使用负数并使用 -k,-k-1,..-1 初始化前 k 个数字，其余为 0 并应用算法稍作修改，通过在原始数组中选择索引i，使得A[i]

旁注： 如果顺序无关紧要，则在开头使用 k -1s 初始化 A，其余为 0，并使用迭代排列算法，该算法将从 N 项中生成唯一可能的 k 个选择。

方法2：（优于方法1）

算法：

1. 首先选择前 K 个数字并填充到数组 A 中，它将存储原始数组中所选元素的索引。我们将其标记为第一个选择。
2. 现在按字典顺序获取所有剩余排列。
3. 如何根据顺序获得下一个组合？如果可能，我们将对选择进行置换，否则返回字典顺序更大的选择。

如果排列用尽，则按词典顺序获取下一个选择的想法：

我们考虑我们当前的组合，并找到最右边的元素 尚未达到其可能的最高值。一旦发现这个 元素，我们将其增加 1，并将最低有效值分配给 所有后续元素。

来自：https://cp-algorithms.com/combinatorics/generating_combinations.html

示例：

输入：X = [1,2,3,4], k=3

现在，我们创建 A = [0,1,2]。

所有排列：

[0,1,2]    // initialization
[0,2,1]    // next permutation
...        // all permutations of [0,1,2]
...
[2,1,0]    // reached last permutation of current selection
[0,1,3]    // get next selection in lexicographic order as permutations are exhausted
...
[3,1,0]   // reached last permutation of current selection
[0,2,3]    // get next selection in lexicographic order as permutations are exhausted
...
[3,2,0]   // reached last permutation of current selection
[1,2,3]    // get next selection in lexicographic order as permutations are exhausted
...
[3,2,1]   // reached last permutation of current selection

代码（基于 0 的索引，所以从 0-k-1 初始化开始）：

bool next_combination_with_order(vector<int>& a, int n, bool order_matters=true) {
    int k = (int)a.size();
    if(order_matters && std::next_permutation(a.begin(), a.end()))return True; // check if next permutation exists otherwise move forward and get next unique combination
    // if `a` was already in descending order, 
    // next_permutation returned false and changed the array to sorted order.
    // now find next combination if possible
    for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
        if (a[i] < n - k + i + 1) {
            a[i]++;
            for (int j = i + 1; j < k; j++)
                a[j] = a[j - 1] + 1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

参考资料：

下一个排列：

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Generation_in_lexicographic_order

std::next_permutation Implementation Explanation

下一个无顺序组合：

https://cp-algorithms.com/combinatorics/generating_combinations.html