KMP前缀表运行时间

Question

我写了一个代码来填充 KMP 的前缀表。这是algorithm 的小变化。我无法说服自己这个算法/​​实现在 O(n) 时间内运行。我很难弄清楚第二次递归调用对总运行时间的影响。有什么帮助吗？

    public void fillFailTable(int[] failTable,String p){
        failTable[failTable.length-1] = preLength(failTable,p);
    }

    private int preLength(int[] failTable,String s){

        if(s.length() == 1){
            return 0;
        }
        int n = s.length();
        int k = preLength(failTable,s.substring(0,n-1));

        failTable[n-2] = k;

        if(s.charAt(k) == s.charAt(n-1)){
            return k+1;
        }else{
            return preLength(failTable,s.substring(n-1-k));
        }
    } 

Answer 1

这实际上很有趣（我仍然想知道为什么没有比我更聪明的人回答这个问题）。请用一粒盐来解释这个解释，因为我不是 100% 确定这甚至接近正确（尽管我可以 100% 告诉你这个方法在 O(n) 中运行，因为这是他们在大学几年前，但他们懒得解释，d'uh，所以我不得不自己想出来）。

好的，让我们从 s.length = 2 的一个非常基本的示例开始。有两件事需要事先说明：

• 在每个示例中，我们只考虑最坏的情况，因为我们对 Big Oh 感兴趣，这意味着我们进入第二个 preLength() 方法。
• 我们可以观察到，在查找 Big Oh 时，此代码中的“k”（以及 preLength() 返回的值）将始终为 0，您会在下面的图片中注意到它是 真的很重要。

s.length == 2

我们首先进入第一个 preLength() 方法（我们称之为 *），现在调用 s.length = 1 并立即返回 0。现在因为我们只考虑最坏的情况（意思是 s .charAt(k) != s.charAt(n-1)) 我们输入第二个 preLength() 以及长度 = 1 的字符串（因为 n=2 和 k=0）。这个也立即返回一个 0 给我们的 *.这结束了我们的方法调用。我们总共有 3 个方法调用。我们的 * 和两个 preLength()。这是一张图片：

s.length == 3

现在让我们看一个起始 s.length = 3 的示例。您可以注意到，我们立即调用 s.length = 2 的 preLength()，并且从我们之前的示例中，我们知道这需要 3 方法调用。现在我们需要记住，当方法 preLength(2) 这次返回时，它会返回到我们的本机 preLength(3)，它现在将再次调用 preLength(2)（else 中的那个），这将再次需要 3 次方法调用。所以我们总共需要 2*3+1 次方法调用。这给了我们 7。再次，这是一个图像（一个圆圈是 preLength 的调用，带有圆圈中显示的长度的字符串）：

结论

现在你可以看到所有这些方法调用都是对称的——那是因为我们的k总是等于 0，这意味着第二个 preLengt() 将被调用一个字符串与第一个大小相同 - 当我们知道 m-1 需要多少个时，我们可以看到 s.length = m 需要多少个，因为 f(m) = 2*f(m-1)+1 其中f(m) 是告诉我们如何操作的函数许多方法调用我们需要为大小为m 的字符串计算表。这是有效的，因为正如我之前所说的方法调用是对称的（这是因为在最坏的情况下 k=0 总是和 preLenght() 总是返回 0，因此 2* 并且我们需要添加 1 个方法调用，我们调用的第一个）。

所以基本上随着我们输入的每次增量（m 的大小）计算时间增长 2 倍加上 1 (2*m+1)，据我了解，这意味着这种方法在最坏的情况下是 O(n )。

正如我所说的，请对它持保留态度，但我希望这是有道理的 :)