带有后缀树的 is-k-Substring 函数

【问题标题】：Is-k-Substring function with a suffix tree带有后缀树的 is-k-Substring 函数
【发布时间】：2017-08-27 09:33:45
【问题描述】：

如何进行下一个操作，以字符串s为后缀树，其顶点数以O(|s|)为界：

Is-k-Sub-string(r) - 检查字符串 r 是否是 s 的 k-sub-string，其中 k-sub-string 定义如下：

如果存在 s 到子字符串的分区，则将 s 的子字符串 r 定义为 k-子字符串：

r=x1x2...xk; xi = s 的子串。

示例：s = whitething，r = inside，r 是 s 的 3 个子串。

我需要该操作以 O(|r|) 的复杂度工作。

我不明白如何在 O(|r|) 上执行此操作，因为 r 中的每个字符都可以是当前分隔符，例如使用 2-Sub-string，因此我必须尝试所有可能的字符作为 x1 和 x2 之间的分隔符（对于分区 r=x1x2）。

有什么想法吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

引理：如果A是B的后缀，B最多可以拆分为k的S的子字符串，A也可以。

证明：让B = x[1] x[2] x[3] ... x[k]。让我们扔掉分区的第一个|B| - |A| 字符。我们将得到一个不超过k 个部分的分区。

推论：如果我们有某个前缀为R 的固定分区，则存在一个最优分区，其中下一个子字符串是我们可以取的最长的。

解决方案紧随上面证明的陈述。我们可以尽可能地制作每个部分：

pos = 0
while pos < R.length:
      take the longest prefix of R[pos:] that is a substring of R
      move pos after the end of this substring

这个解决方案可以在线性时间内实现：我们可以从树的根开始，只要它们对R的当前字符进行转换，就可以继续进行。如果没有，我们将当前部分添加到答案中并从根目录重新启动。

【讨论】：