快速生成随机紊乱

Question

我希望随机生成derangements。换句话说：打乱一个向量，以便没有元素留在原来的位置。

要求：

• 均匀采样（每个紊乱以相同的概率生成）
• 实际实现比拒绝方法更快（即不断生成随机排列，直到我们发现紊乱）

到目前为止，我找到的答案都不是令人满意的，因为它们要么不均匀采样（或无法证明均匀性），要么没有与拒绝方法进行实际比较。大约1/e = 37% 的排列是混乱的，它提供了一个线索，即相对于拒绝方法，人们最多可以期望什么性能。

我发现的唯一一个进行实际比较的参考是this thesis，他们提出的算法基准为 7.76 秒，拒绝方法基准为 8.25 秒（参见第 73 页）。这仅是 1.06 倍的加速。我想知道是否有可能更好（> 1.5）。

我可以实现和验证论文中提出的各种算法，并对它们进行基准测试。正确地做到这一点需要相当多的时间。我希望有人做过，并且可以给我参考。

Answer 1

令 d(n) 为长度为 n 的数组 A 的紊乱数。

d(n) = (n-1) * (d(n-1) + d(n-2))

d(n) 排列通过以下方式实现：

1. First, swapping A[0] with one of the remaining n-1 elements
2. Next, either deranging all n-1 remaning elements, or deranging 
   the n-2 remaining that excludes the index 
   that received A[0] from the initial matrix.

我们怎样才能随机均匀地产生一个紊乱？

1. Perform the swap of step 1 above.
2. Randomly decide which path we're taking in step 2,
   with probability d(n-1)/(d(n-1)+d(n-2)) of deranging all remaining elements.
3. Recurse down to derangements of size 2-3 which are both precomputed.

维基百科有 d(n) = floor(n!/e + 0.5)（完全正确）。对于小 n，您可以使用它在恒定时间内精确计算步骤 2 的概率。对于较大的 n，阶乘可能会很慢，但您所需要的只是比率。大约是 (n-1)/n。您可以接受近似值，或者预先计算并将比率存储到您正在考虑的最大 n。

请注意，(n-1)/n 收敛速度非常快。

Answer 2

这里有一个可能适合您的算法的想法。生成循环符号的混乱。所以(1 2) (3 4 5) 代表混乱2 1 4 5 3。 （即(1 2)是一个循环，(3 4 5)也是。）

将第一个元素放在首位（在循环符号中，您总是可以这样做），然后对其余元素进行随机排列。现在我们只需要找出括号中循环长度的位置。

正如https://mathoverflow.net/questions/130457/the-distribution-of-cycle-length-in-random-derangement 所说，在排列中，随机循环的长度是均匀分布的。它们不是随机分布在混乱中的。但是长度m 的混乱数是m!/e 向上舍入为偶数 m 和向下舍入为奇数m。因此，我们可以做的是选择一个均匀分布在2..n 范围内的长度，并以剩余元素随机进行的概率为混乱接受它。该周期长度将正确分布。然后，一旦我们有了第一个周期长度，我们就重复下一个周期，直到完成。

按照我描述的方式完成的过程更易于实现，但在数学上等同于随机扰乱（通过拒绝），并只写下第一个周期。然后重复。因此有可能证明这会以相同的概率产生所有的紊乱。

天真地采用这种方法，在接受长度之前，我们将平均进行 3 次滚动。然而，我们随后将问题平均减少了一半。所以我们需要生成用于放置括号的随机数的数量是O(log(n))。与构造排列的O(n) 随机数相比，这是一个舍入误差。但是，可以通过注意接受的最高概率是0.5 来优化它。因此，如果我们以两倍的概率接受如果我们继续进行，那么我们的比率仍然是正确的，并且我们摆脱了我们对周期长度的大部分拒绝。

如果大部分时间都花在随机数生成器上，对于较大的n，这应该以大约 3 倍的拒绝方法运行。在实践中它不会那么好，因为从一种表示切换到另一种表示实际上并不是免费的。但是你应该得到你想要的数量级的加速。

Answer 3

我很好奇......并且在数学上不了解。所以我天真地问，为什么“简单的洗牌”就不够了？

for i from array_size downto 1:  # assume zero-based arrays
  j = random(0,i-1)
    swap_elements(i,j)

由于random 函数永远不会产生等于i 的值，它永远不会离开它开始的元素。每个元素都将被移动到“其他地方”。

Answer 4

这只是一个想法，但我认为它会产生均匀分布的混乱。 但是您需要一个最大约为 N/2 个元素的辅助缓冲区，其中 N 是要排列的项目的大小。

• 首先是为值1 选择一个随机(1,N) 位置。
  • 注意：为了简单起见，1 to N 而不是 0 to N-1。
• 那么对于值2，如果1 落在位置2 上，位置将为随机(1,N-1)，否则为随机(1,N-2)。
• 算法将遍历列表并仅计算尚未使用的位置，直到它到达为值 2 选择的随机位置，当然会跳过位置 2。
• 对于值3，算法将检查位置3 是否已被使用。如果使用，pos3 = random(1,N-2)，如果没有，pos3 = random(1,N-3)
• 再次，算法将遍历列表并仅计算尚未使用的位置，直到达到 count=pos3。然后将值 3 放在那里。
• 这将用于下一个值，直到将所有值完全放置在位置中。

这将产生一个统一的概率紊乱。

优化将集中在算法如何快速达到pos#。 除了遍历列表来计算尚未使用的位置，算法可以使用某种堆，例如搜索尚未使用的位置，而不是逐个计数和检查位置。或除了类似堆的搜索之外的任何其他方法.这是一个需要解决的单独问题：how to reached an unused item given it's position-count in a list of unused-items.