计数紊乱

Question

来自 wiki，计数紊乱的方法是，

假设有 n 个人，编号为 1, 2, ..., n。假设有 n 帽子也编号为 1、2、...、n。我们必须找到方法的数量 没有人得到与他/她的号码相同号码的帽子。让我们 假设第一个人拿帽子 i。有 n-1 种方法 第一个做出这样选择的人。现在有两种可能， 取决于我是否拿帽子 1 作为回报：

人 i 不戴帽子 1. 这个案例相当于解决 n - 1 个人和 n - 1 顶帽子的问题：其余 n 个中的每一个 − 1 个人在剩余的 n 个中恰好有 1 个禁止选择 − 1 顶帽子（我的禁止选择是帽子 1）。 第 i 人拿了 1 顶帽子。现在问题减少到 n - 2 个人和 n - 2 顶帽子。

由此推导出以下关系：

!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2))  

这里我不明白第二部分。我试着这样想问题，

NO.1 : 我是 i 人，所以我不能拿 i'th hat。所以我有 n-1 个选项。这减少了让 n-1 人戴着 n-1 顶帽子的问题，这将乘以 (n-1) 次。

但我无法理解递归调用的第二部分。 从段落中，“我带帽子的人1”如何...？ “我的禁帽是1”不是真的吗？那我怎么拿帽子1。否则如果“我的禁帽不是1”那不就减少到NO.1了吗？

所以我或多或少地难以理解递归调用的这一部分，

!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2))
                       *******

Answer 1

为了清楚起见，让我们调用混乱函数f。在f(n)，有 n 顶帽子和 n 个人。每个人都可以从n-1 帽子中进行选择。第 1 个人从 n-1 选择帽子 i。人i 仍然有n-1 的帽子可供选择，而其他人有n-2 必须选择（他们不能选择自己的帽子或i）。

现在我们需要两个案例来说明i 所做的事情。把它想象成

1. 人i拿帽子1
2. i 的人没有戴帽子 1，我们不知道他们以后会拿什么

在情况 2 中，我们知道人 i 没有戴帽子 1，但仅此而已。以前我们知道那个人i 有n-1 选择，现在他有n-2，就像其他人一样。这意味着我们可以为这种情况计算 f(n-1)。情况1，人i不再被禁止戴帽子1。本质上，我们知道人i和人1交换了帽子，不再需要匹配，因此f(n-2) .

这两种情况中的任何一种都是可能的，所以我们有一个重复，它将 (n-1) 个选择乘以任何一种发生的可能性，f(n) = (n-1)(f(n-1) + f(n-2))

Answer 2

有两种说法：

1. 在 1->i 和 i->1 的 N 的紊乱与 N-2 的紊乱之间存在双射。
2. 在 1->i 和 i-> j != 1 的 N 的紊乱与 N-1 的紊乱之间存在双射。

第一个很明显：一旦从 {1, ..., n} 的混乱中删除 1->i 和 i->1，剩下的 n-2 个项目就会混乱.相反，如果你有一个 {2, 3, ..., i-1, i+1, ..., n} 的紊乱，那么你可以把它变成一个 {1, ..., n} 通过添加映射 1->i 和 i->1.

通过注意到如果您有 {2, ..., n} 的错乱，则可以通过添加映射 1-> 将其变成 {1, ..., n} 的错乱。 i 并将映射到 i 的任何内容更改为映射到 1。相反，如果您有一个 {1, ..., n} 的紊乱，其中 1->i 和 i 不映射到 1，那么您可以通过删除创建一个 {2,...,n} 的紊乱1->i 映射，并将映射到 1 的任何内容更改为映射到 i。

这为您提供了一种计算紊乱的方法：

D(n) = sum(i=2..n) (D(n-1) + D(n-2)) = (n-1)(D(n-1) + D(n- 2))