我最近一直在研究全对最短路径算法，例如 Floyd-Warshall 和 Johnson 的算法，我注意到即使图包含负权重边（但不包含负权重循环），这些算法也会产生正确的解决方案.为了比较，Dijkstra 的算法（它是单源最短路径）不适用于负权重边缘。是什么让全对最短路径算法在负权重下工作？
【问题讨论】：
标签： algorithm graph shortest-path
Floyd Warshall 的所有对最短路径算法适用于具有负边权重的图，因为该算法的正确性不依赖于边权重是否为非负，而 Dijkstra 算法的正确性基于此事实。
Dijkstra 算法的正确性：
在算法的任何步骤中，我们都有 2 组顶点。集合 A 由我们计算到的最短路径的顶点组成。集合 B 由剩余的顶点组成。
归纳假设：在每一步，我们都会假设所有之前的迭代都是正确的。
归纳步骤：当我们在集合 A 中添加一个顶点 V 并设置距离为 dist[V] 时，我们必须证明这个距离是最优的。如果这不是最优的，那么必须有一些其他路径到顶点 V 的长度更短。
假设这条其他路径经过集合 B 中的某个顶点 X。
现在，由于 dist[V] <= dist[X] ，因此到 V 的任何其他路径将至少为 dist[V] 长度，除非图形具有负边长度。
Floyd Warshall 算法的正确性： 从顶点 S 到顶点 T 的任何路径都将通过图中的任何其他顶点 U。因此，从 S 到 T 的最短路径可以计算为
min( shortest_path(S to U) + shortest_path(U to T)) 用于图中所有顶点 U。
如您所见，只要子调用正确计算路径，图形的边就不会是非负的。只要基础案例已正确初始化，子调用就会正确计算路径。
【讨论】：
Dijkstra 算法不适用于负权边，因为它基于贪婪策略（假设），即一旦将顶点 v 添加到集合 S，d[v] 包含可能的最小距离。
但是如果 Q 中的最后一个顶点被添加到 S 并且它有一些传出的负权边。负边缘对距离的影响不计在内。
但是，所有对最短路径算法都会捕获这些更新。
【讨论】：