去除最少边以强制增加未加权无向图中最短路径长度的算法

Question

给定一个未加权无向图的邻接矩阵，是否有一种有效的方法（多项式算法）来扩展/增加任何给定两个节点 s 和 t 之间的最短路径的长度？

示例：

在下面的示例中，从顶点 s=1 到顶点 t=5 有 5 条不同的“最短路径”，每个长度为 3。我想删除最少数量的边，以便强制最短路径长度变成4个或更多。 （断开图表是可以的。）

邻接矩阵（扩展修正示例）：

 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 
 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0  
 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 
 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0  
 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 
 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 
 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 
 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 

表示此图：

强制最短路径长度从 3 增加到 4 的最小成本是去除两条边 (1,2) 和 (5,9)

目标：

您能否给出一个通用算法的想法，该算法可以找到在一般情况下必须删除的边集？

---

更正：正如我在 cmets 中所指出的，此示例并不完整。通过再添加两个顶点 10 和 11（以红色显示），示例被救出。

Answer 1

输入：G = (V,E)，顶点 s，t 和正整数 d。

问题：最小化需要删除的边数，使得 dist(s,t) >= d。

这个问题对于 d > 3 是 NP-hard 并且对于 d 的其他值是多项式可解的。

问题是在距离 d 和允许删除的边数 k 上参数化 FPT：算法如下：找到长度最多为 d 的 (s,t)-path 并在 d 边上分支可以删除的。这导致算法运行时间为 O(d^k * n^2)。

当仅由 d（或仅 k）参数化时，它是 para-NP-complete（或 W[1]-hard）。

参考：有界长度的路径及其切割：参数化复杂性和算法，Golovach，P.A.和 Thilikos, D.M.，离散优化第 8 卷，第 1 期，第 72 - 86 页，2011 年，出版商 E​​lsevier。

Answer 2

我用我在“Pål GD”答案的第三条评论中提到的方法解决了这个问题。这是它的java代码。希望对您有所帮助！

// BFS to find the depth of every node (from source node)
// graph is the adjacency matrix.
// elements of row zero and column zero are all useless. this program
// works with indices >=1 
private int[][] BFS (int[][] graph, int source, boolean SPedges){
    int[][] temp = null;

    // nodes is number of graph nodes. (nodes == graph.length - 1)
    if (SPedges){
        temp = new int[nodes + 1][nodes + 1];
    }
    else{
        depth[source] = 0;
    }
    LinkedList<Integer> Q = new LinkedList<Integer>();
    Q.clear();
    visited[source] = true;
    Q.addFirst(source);
    while (!Q.isEmpty()){
        int u = Q.removeLast();
        for (int k = 1; k <= nodes; k++){
            if (!SPedges){
                // checking if there's a edge between node u and other nodes
                if (graph[u][k] == 1 && visited[k] == false){
                    visited[k] = true;
                    depth[k] = depth[u] + 1;
                    Q.addFirst(k);
                }
            }
            else{
                if (graph[u][k] == 1 && depth[k] == depth[u] - 1){
                    Q.addFirst(k);
                    temp[k][u] = 1;
                }
            }
        }   
    }
    return temp;
}

// fills the edges of shortest path graph in flow 
private ArrayList<Edge> maxFlow(int[][] spg, int source, int sink){ 
    int u = source;
    ArrayList<Integer> path = new ArrayList<Integer> (depth[sink]);
    path.add(source);
    Arrays.fill(visited, false);
    visited[source] = true;
    for (int i = 1; i <= nodes + 1; i++){
        if (i == nodes + 1){
            if (u == source)
                break;
            u = path.get(path.size() - 2);
            i = path.remove(path.size() - 1);
        }
        else if(spg[u][i] == 1 && visited[i] == false){
            visited[i] = true;
            path.add(i);
            if (i == sink){
                for(int k = 0; k < path.size() - 1; k++){
                    spg[path.get(k)][path.get(k+1)] = 0;
                    spg[path.get(k+1)][path.get(k)] = 1;
                }
                i = 0;
                u = source;
                path.clear();
                path.add(u);
                Arrays.fill(visited, false);
            }
            else{
                u = i;
                i = 0;
            }
        }
    }

    LinkedList<Integer> Q = new LinkedList<Integer>();
    Q.clear();

    Arrays.fill(visited, false);

    visited[source] = true;
    Q.addFirst(source);
    while (!Q.isEmpty()){
        u = Q.removeLast();
        for (int k = 1; k <= nodes; k++){
            if (spg[u][k] == 1 && visited[k] == false){
                visited[k] = true;
                Q.addFirst(k);
            }   
        }
    }
    ArrayList<Edge> edges = new ArrayList<Edge>();
    for (int i = 1; i <= nodes; i++){
        for (int j = 1; j <= nodes; j++){
            if ((spg[i][j] == 1) && (visited[i] ^ visited[j])){
                edges.add(new Edge(i, j));
            }
        }
    }

    return edges;
}

public void Solv(){
    // adjacency matrix as g. represents the graph.
    // first we find depth of each node corresponding to source node by a BFS from source
    BFS(g, s, false);

    // shortest path length from source to sink (node t)
    SPL = depth[t];

    // shortest path graph
    // it's a subgraph of main graph consisting only edges that are in a shortest path
    // between s and t
    spg = BFS(g, t, true);

    // lastly we find edges of a min cut in shortest paths graph
    // and store them in "edges"
    edges = maxFlow(spg, s, t);
}    

class Edge{
    private int begin, end;
    public Edge(int begin, int end){
        this.begin = begin;
        this.end = end;
    }
    @Override
    public String toString() {
        return new String(String.valueOf(begin) + " " + String.valueOf(end));
    }
}