椭圆曲线上的点数答案

【问题标题】：Number of points on elliptic curve椭圆曲线上的点数
【发布时间】：2010-09-29 07:24:51
【问题描述】：

如果你有一条椭圆曲线：

y^2 = x^3 + a*x + b  (mod p)

有没有好的程序可以计算这条曲线上的点数？

我已阅读有关 Schoof 和 Schoof-Elkies-Atkin (SEA) 算法的信息，但我正在寻找开源实现。有谁知道可以做到这一点的好程序吗？

另外如果a为1，b为0，则SEA算法不能使用，因为j-invariant为0。这样正确吗？

【问题讨论】：

我认为您需要更具体一些。可用的点空间是多少？整数？雷亚尔？除非您以其他方式限制问题，否则存在无限点。
OP 说“mod p”意味着整数。
上下文可能是椭圆曲线密码学，但我不确定，数学有点过头了。
这是一个有趣的主题，我在我的一本旧数学书中找到了一些关于椭圆曲线模 p 的理论。如果您有兴趣，我可以提供一些信息（但没有解决方案）。而且我不确定我是否仍然理解完整的数学，但这是有趣的东西。
对于该领域的任何人来说，这个问题的措辞都是绝对正确的。椭圆曲线的点数 E mod p 是指在具有 p 个元素 A^2(F_p) 的场上的仿射平面中的点数（或投影平面中的点数 P^2(F_p ))。

标签： cryptography elliptic-curve

【解决方案1】：

你听说过Sage吗？

Sage 包含 Pari，它是一个用于数论的开源软件包。 Pari 有一个 SEA 的实现。

来自http://wstein.org/papers/2008-bordeaux/sphinx/elliptic_curves.html#schoof-elkies-atkin-point-counting：

sage: k = GF(next_prime(10^20))
sage: E = EllipticCurve(k.random_element())
sage: E.cardinality()                   # less than a second
100000000005466254167

【讨论】：

【解决方案2】：

为此，我也一直在使用 Mike Scotts 程序（miracl）。只是好奇，我可能会问：您可以使用该软件生成的具有主要组顺序的域有多大？我升到了 1024 位，现在退出了，因为我需要我的办公室 PC 来连续数周运行点计数软件以外的东西。您是否制作了更大的域？如果是这样，我很高兴获得域参数，如果您没有异议，请将它们包含在我的 ECC 软件学术签名中。

我的域名可以在这里找到ECC Domain Page。可以从这里访问使用它们的软件Manual with Link to download page

问候。

【讨论】：

【解决方案3】：

这里有一些链接： Implementations of portions of the P1363 draft（本页回溯backup link）。

【讨论】：

“Schoof 算法在任意椭圆曲线上计数点的 C++ 实现，Mike Scott”完成了这项工作。我必须进行一些更改，以便它适用于大量数据。即：增加数组的大小和“大”数字的精度。
该页面上的链接对我来说已失效，任何人都可以镜像吗？
@samoz 刚刚修改了答案以包含 Wayback backup link，我希望答案的原作者不介意，因为从 2014 年开始，他还没有回复您更新死亡的请求链接。

【解决方案4】：

我试过 Sage。我花了大约 3-4 个小时编译到 x64 ubuntu。这似乎是一个很好的程序。但是当 j-invariant 为 0 时，SEA 算法就不能使用了，然后如果 p/k 使用大的值，似乎会出现一些问题。

在搜索了更多之后我也找到了miracl：http://www.shamus.ie/index.php?page=elliptic-curves 他们对普通的 Schoof 和 SEA 算法都有实现。但是这个程序在使用大输入值时也存在一些问题。运行 3-4 小时后，它崩溃了：/。我试图修复它，目前它正在再次运行，所以希望它会起作用。

编辑：它现在可以工作了。上面链接中的程序与 Rasmus Faber 给出的程序相同。

【讨论】：