找到一种算法，使用 O(n 4 ) 时间计算有向图的传递闭包答案

【问题标题】：find an algorithm that calculates the transitive closure of a directed graph using O(n 4 ) time找到一种算法，使用 O(n 4 ) 时间计算有向图的传递闭包
【发布时间】：2012-11-26 23:39:16
【问题描述】：

对于一个作业，我被要求找到一种算法，该算法使用 O(n 4 ) 时间计算有向图的传递闭包。我们已经了解了 floyd warshall 算法，它要好得多，所以有人可以帮我创建一个在 O(n4) 时间内运行的算法吗？有这样的算法吗？

我知道这似乎是一个愚蠢的问题。我真的不明白为什么我们被要求找到更慢的方法来做到这一点。

【问题讨论】：

为图定义传递闭包。你是说Q = { (u,v) | (u,v) is an edge OR there is w such that (u,w),(w,v) is in Q } 吗？
T^(k)=t^(k)_ij 是一个 n × n 位矩阵，其中 t^(k)_ij = 1 如果存在从 i 到 j 的路径，其中中间顶点来自 {1, 2, . . . , k};否则，t^(k)_ij = 0. 是我使用的。
等一下，你是否试图真正实现一组三元组(i,j,k)，其中(i,j,k) 在T 中当且仅当从 i 到 j 存在任何路径（可能不是最短的）长度为 k?这是一个与我最初想的不同的问题，你不关心路径的长度 - 只关心它的存在。如果是这样 - 问题可以从哈密顿路径问题中减少，并且没有已知的多项式解决方案。你能澄清一下吗？
我正在寻找以下解决方案。不寻找一组三元组
我只是想我会注意到您缺少大写和标点符号是一种关闭。您是一个解决难题的聪明人，请帮自己一个忙，不要让自己暴露在语言选择所带来的刻板印象中。

标签： algorithm time-complexity floyd-warshall

【解决方案1】：

Floyd Warshall 是O(n^3)，因为O(n^3) 是O(n^4) 的子集，所以它也是O(n^4)。
因此，通过设置一个新图 G'=(V,E',w') 其中 E' = V x V （集团，完整图）和 w'(u,v) = 1 if (u,v) is in E, otherwise INFINITY - 通过使用 Floyd-Warshall 算法，每对 (u,v) 最终的值小于无穷大是在闭包中。

Theta(n^4) 解：

Q <- E (init) #(Q is a set)
for i from 1 to n:
   for each v in V:
     for each w in V:
        for each u in V:
            if (v,w) is in Q and (w,u) is in E:
               Q <- Q U {(v,u)}  #add (v,u) to Q

复杂性是微不足道的Theta(n^4)，我们只需要证明它确实找到了传递闭包。

通过归纳：

对于长度为 1 的从 u 到 v 的最短路径，它是基本子句，因为 (u,v) 在 E 中。
对于每个k：
每对 (u,v) 的最短路径长度为 k>1 - 有 w ，因此有一条路径 u -> ... -> w 和一条边 (w,v)。根据归纳假设，在之前的迭代中，我们将(u,w) 添加到Q，因此条件将产生真，我们会将(u,v) 添加到结果集Q。

类似地表明，如果将某些对 (u,v) 添加到 Q 中，则存在路径 u->..->w->v，因此它被正确添加。

第二个Theta(n^4) 解决方案：

如上所述设置G'，并为V 中的每个顶点v 从v 运行Bellman Ford。
BF的每次运行是Theta(n^3)¹，运行它n次是Theta(n^4)

(1) 技术上它是O(VE)，但对于非稀疏图E 在Theta(V^2) 中

【讨论】：

【解决方案2】：

传递闭包的 Floyd-Warshall 算法如下所示：

int dist[N][N];  // For some N
int i, j, k;
// Input data into dist, where dist[i][j] is the distance from i to j.
// If the nodes are unconnected, dist[i][j] should be infinity

for ( k = 0; k < N; k++ )
for ( i = 0; i < N; i++ )
for ( j = 0; j < N; j++ )
   if(dist[i][k] && dist[k][j])
      dist[i][j] = 1;

注意使用的索引的顺序：它们以这种方式排序以保持最佳子结构属性。如果我们改为将它们重新排序如下，则违反了该属性：

  for ( i = 0; i < N; i++ ) 
  for ( j = 0; j < N; j++ )
  for ( k = 0; k < N; k++ )
    if(dist[i][j] && dist[j][k])
      dist[i][k]=1;

违反该属性的结果是传递闭包路径在上面的 O(n^3) 次迭代中（在最坏的情况下）仅增长一个链接。为了确保它们的传递闭包路径一直增长，我们需要不断迭代直到它们停止增长：

do{
  something_done=false;
  for ( i = 0; i < N; i++ ) 
  for ( j = 0; j < N; j++ )
  for ( k = 0; k < N; k++ )
    if(dist[i][j] && dist[j][k]){
      dist[i][k]=1;
      something_done=true;
    }
} while (something_done);

如果外循环在O(N)中，那么算法本身在O(N^4)中。

不幸的是，可能无法（轻松地）证明外循环具有该属性，因为它是特定于数据的。

【讨论】：