算法在递归方程的另一边找到 O(n) 和两个 T(n)答案

【问题标题】：algorithm find O(n) with two T(n) on the other side of the recurrence equation算法在递归方程的另一边找到 O(n) 和两个 T(n)
【发布时间】：2018-06-23 10:45:04
【问题描述】：

接下来的几天我将参加算法考试，教授要求我们学习如何以这种形式找到 O(n) 的方程：

T(n) = T(n/3) + T(n/4) + 5n

T(n) = T(n/3) + 2T(n/4) + 5n

T(n) = T(n/3) + T(n/4) + 15n

T(n) = 2T(n/3) + T(n/4) + 4n

我知道如何使用主定理，但我怀疑我可以在这里以某种方式使用它。我的教授也没有向我们展示如何解决这个问题的一个例子，在谷歌上我找不到太多（或者不知道如何找到解决方案 - 如何搜索它）所以有人可以告诉我吗如何逐步解决以上问题？

提前致谢。

PS：抱歉标题可能是错误的，正如我所说，我不知道如何准确地表达我想要的。

【问题讨论】：

通常的方法是观察，例如，T(n/3) >= T(n/4)（尽管这并不总是正确的......）。然后你可以说T(n) >= 2T(n/3) + 5n，然后从那里开始工作。 >= 是“好的”，因为您仍然可以获得函数的上限，即使它不一定很紧。
@hnefatl 对于T(n)，它应该是<= 而不是>=。这是一个上限。
我有一个以前的答案here，它解决了这种功能。希望对你有帮助

标签： algorithm time-complexity asymptotic-complexity recurrence master-theorem

【解决方案1】：

正如评论中提到的，因为T(n/3) > T(n/4)，您可以找到上述每个方程的上限（这个条件对于增加T(n) 是正确的）。

T(n) = T(n/3) + T(n/4) + 5n => T(n) < 2T(n/3) + 5n =>(using master theorem) T(n) = O(n) 另外，我们可以说T(n) = \Theta(n)，因为5n 我们可以说T(n) = \Omega(n)。

T(n) = T(n/3) + 2T(n/4) + 5n => T(n) < 3T(n/3) + 5n =>(using master theorem) T(n) = O(nlog(n))

T(n) = T(n/3) + T(n/4) + 15n => T(n) < 2T(n/3) + 15n =>(using master theorem) T(n) = O(n)

T(n) = 2T(n/3) + T(n/4) + 4n => T(n) < 3T(n/3) + 4n =>(using master theorem) T(n) = O(nlog(n))

【讨论】：

我明白了，是否存在 T(n/3) > T(n/4) 会评估为 false 的情况，所以这个答案不会被接受？
@PavTze 因为 T(n) 正在增加，所以这是真的。