绘制复杂函数的分支

Question

我正在尝试绘制一种函数的黎曼曲面（我不确定它是否是正确的名称），如下所示：

这是我尝试过的：

r = (0:1:15)';                           % create a matrix of complex inputs
theta = pi*(-1:0.05:1);
z = r*exp(1i*theta);
w = z.^(1/2)  ;                          % calculate the complex outputs

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)

surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

这给了我以下信息：

我的问题是：

1. 我以为我会绘制第一张图像上的内容，但我得到了其他东西。如果不是黎曼曲面，我会绘制什么？

2. 如何更改代码以获得顶部图？

3. 是否可以在第一张图上使用弧度刻度？

Answer 1

您的第一个图显示了多值“函数”的多个分支。它实际上并不是通常意义上的函数，因为对于给定的z，您有多个函数值。您只能通过绕原点多次转来重现这一点，即在您的角度变量中超过2*pi。您绘制的是该函数的主要分支，即对应于从-pi 到pi 的复杂阶段的工作表。

此外，还有一个更根本的问题。一旦切换到表示为双精度数的复数，您将丢失有关原点周围附加相位的任何信息（表示为实部 + 虚部的复数只会导致其复数相位的主值，介于 -pi 和 @ 987654332@)。因此，您需要从复数的三角形式“手动”计算平方根：

r = (0:1:15)';                           % create a matrix of complex inputs
theta = pi*(-2:0.05:2);
z = r*exp(1i*theta);
%w = z.^(1/2)  ;                          % calculate the complex outputs
w = sqrt(r)*exp(1i*theta/2);

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)

surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

如您所见，该函数按应有的方式运行。请注意，在图中使用“弧度刻度”是没有意义的。您绘制的所有内容都有“线性”尺寸：实部和虚部。弧度只对角度有意义，即theta-like 数量。

此外，您可能会注意到上图的边缘是圆形的，因为我们使用极坐标进行绘图。可以创建一个矩形图，但需要做更多的工作。这是部分解决方案。这个想法是将相同的网格缝合在一起两次，以绘制函数的两个分支：

r0 = 15;
re = linspace(-r0, r0, 31).';                           % create a matrix of complex inputs
im = linspace(-r0, r0, 31);
z = re + 1j*im;
theta = angle(z);  % atan2(imag(z), real(z));
r = abs(z);

% concatenate the same mesh twice (plotting trick) back to back, insert nan in between
w1 = sqrt(r).*exp(1i*theta/2); % first branch
w2 = sqrt(r).*exp(1i*(theta+2*pi)/2); % second branch

z = [z, nan(size(w1,1),1), z(:,end:-1:1)];
w = [w1, nan(size(w1,1),1), w2(:,end:-1:1)];

figure('Name','Graphique complexe','units','normalized','outerposition',[ 0.08 0.1 0.8 0.55]);
subplot(121)
surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Real(u)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Imag(v)';

subplot(122)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w))    % visualize the complex function using surf
xlabel('Real(z)')
ylabel('Imag(z)')
zlabel('Imag(v)')
cb = colorbar;
colormap jet;                            % gradient from blue to red
cb.Label.String = 'Real(u)';

结果如下：

正如您所见，复杂的部分看起来很奇怪。这是因为复数的相位沿负实半轴跳跃。这可以补救，但需要更多的工作，这留给读者作为练习。我在数据中注入一列nans 的原因是为了防止在第一个图中出现类似的跳转伪影。另一种选择是分别绘制函数的两个分支，hold on 介于两者之间，但随后必须做额外的工作来标准化图形上的颜色图。

最后，请考虑不要使用jet，而是使用默认的parula 颜色图。 Jet 对于色觉受损的人来说非常糟糕，parula 接近于感知均匀。对于这个问题的简短介绍，我建议观看 scipy 家伙的 this great talk。