通过以下方式解决您的问题：
- 计算数据的kernel density estimate (KDE)
d；
- 使用
rainbowcolormap(n) 创建颜色映射m 和n 颜色；
- 像这样绘制数据：
scatter(x,y,s,d,"fill"); set(gcf(),"color_map",m);，其中s 是图中标记的大小。
由于我无法使用stixbox toolbox for Scilab，因此我决定想出一个解决此问题的方法，因此请准备好一个长答案。
纯 Scilab 溶液
首先，我在 Scilab 宏上实现了kernel_density()。它的输入是x，一个n×p 数据矩阵，和h 带宽。它的作用是计算以每个数据点为中心、半径为h 的圆/球/n 球内有多少点。
我在这个统计领域不是很有经验，所以我不得不阅读 KDE。事实证明，我的这个解决方案实际上是一种 KDE 方法，它使用带有constant and equal weight for the neighbors 的内核（因此我将h 重命名为“带宽”而不仅仅是“半径”，以及为什么我添加了一个2*h*n 因子计算）。
另外，由于我缺乏知识，我无法实现为给定数据集自动选择最佳h 的方法，因此您必须通过反复试验来选择它。但是，阅读Scipy implementation of gaussian_kde()（我在您在问题中提供的示例中看到）以及使用来自this question 和this reference 的提示，我想出了一种方法将可能的@ 数量减少到4 987654347@（如果您的数据有 2 个维度）。也许真正的统计学家可以在 cmets 中验证它，或者提供更好的方法：
- 计算数据集的协方差矩阵；
- 将其平方根乘以斯科特因子：
n ^ (-1 / (p+4));
- 为所有
h 绘制图并选择具有最佳可视化效果的那个。
原来的kernel_density 函数仍然可以在here 中找到，它在大约 10³ 点上运行良好。如果您处理的不止这些，请继续阅读。
C 实现
如 cmets 部分所述，Scilab 的实现相当缓慢。为了获得更好的结果，我在 C 中实现了 kdec()，并使用 ilib_for_link() 将其链接到 Scilab 宏。但是，这种方法仍然存在问题（请参阅底部的警告说明）。
要在 Scilab 上使用这个功能，你应该有一个兼容的 C 编译器：
- 如果您使用 UNIX 或类 UNIX 系统，则无需担心。
- 如果你使用Windows，你应该按照
mingw toolbox的说明在执行kde()时将其加载到Scilab环境中。
首先，您必须将kdec.c 放在当前的 Scilab 目录中。
//kdec.c
#include <math.h>
void kdec(double f[], double x[], double *h, int *n, int *p){
/* x[]: (n*p)-by-1 array of data
* *h: bandwitdh
* *n: the number of points
* *p: the number of dimensions
* f[]: the output
*
* the local neighborhood density can be defined as (for constant weight):
* f(x0) = sum_from i_to n of K(||x_i - x_0|| <= h) / 2hn
* where: x0 is the observed point, which can have p-dimensions;
* K(a) = {1 if a == True
* {0 if a == False
*/
int n_ = *n; int p_ = *p; double h_ = *h;
int d, j, k;
double dif, norm;
for(j = 0; j < n_; j++){
f[j] = 0;
for(k = 0; k < n_; k++){
norm = 0;
for(d = 0; d < p_; d++){
dif = x[k + d*n_] - x[j + d*n_];
norm = norm + dif * dif;
}
norm = sqrt(norm);
if (norm <= h_){
f[j] = f[j] + 1;
}
}
f[j] = f[j] / (2 * (h_) * (n_));
}
}
然后，设置kde.sci 以调用kdec C 函数并包装在新的Scilab kde 函数中。
//kde.sci
if ~isdef('kde') then
ilib_for_link('kdec','kdec.c',[],"c") //compile and create the new shared library
exec('loader.sce',-1); //load library
end
//create a wrapper function to improve interface with interface 'kdec'
function varargout = kde(x,h)
//x: n-by-p matrix of data, each column is a dimension
//h: bandwitdh
[n, p] = size(x); //n: number of points
//p: number of dimensions
x = x(1:$);
if length(h) ~= 1 then
error("kde(x,h): x should be n-by-p matrx; " +...
"h shoud be scalar, positive, and real");
end
f = call('kdec'...
, x , 2, 'd'...
, abs(h), 3, 'd'...
, n , 4, 'i'...
, p , 5, 'i'...
,'out'...
,[n,1] , 1, 'd' );
varargout = list(f)
endfunction
由于我在统计方面没有得到任何改善，您仍然需要手动设置h。然而，经过多次测试，二维数据的最佳结果似乎是：
scotts_factor = n ^ (-1 / (p+4))
h = sqrt(abs(cov(A))) .* scotts_factor;
h = h(2);
这是一些测试：
exec('kde.sci',-1);
//create data set
n = 1d4;
p = 2;
A = grand((n/2), 1, "nor", 0, 1);
A = [A, A * 3 + grand((n/2), 1, "nor", 0, 1)];
A = [ A ; [ A(:,1) * 0.8 , A(:,2) * 1.3 + 10 ] ];
//calculating bandwidth
scotts_factor = n ^ (-1 / (p+4))
h = sqrt(abs(cov(A))) .* scotts_factor;
h = h(2);
//calculate density
d = kde(A, h);
[d, idx] = gsort(d); //sorting data to plot higher-density points
idx = idx($:-1:1); //over lower-density ones
d = d($:-1:1); //(reversing densities matrix)
A = A(idx,:); //(reordering data matrix)
//plotting
scf(); clf();
scatter(A(:,1), A(:,2), 10, d, "fill");
m = rainbowcolormap(32); //create the rainbow color map
m = m($:-1:1,:); //reverse it to get hotter colors on higher densities
set(gcf(),'color_map',m); //set the desired color map
输出是：
警告说明
即使在 C 中实现之后，它仍然是一个高成本的函数。由于两个嵌套的 for 循环，它是 O(n²)。
我做了一些测量，结果如下：
n (points) | 10^3 | 5*10^3 | 10^4 | 10^5
-------------+---------+--------+--------+---------
t (seconds) | 0.13751 | 1.2772 | 4.4545 | 323.34
运行kde() 获得 100k 点需要超过 5 分钟。既然你说你想评估 1M 点，我也不推荐这个解决方案。不过，将其与纯 Scilab 解决方案进行比较：后者仅需要 5 秒才能处理 10³ 点（！）。这已经是一个巨大的进步，但恐怕我的解决方案不会变得更好。也许您应该尝试减少样本数量，或者寻找其他计算工具，例如R。