将数字提高到分数（Data.Ratio）幂？答案

【问题标题】：Raising a number to a fractional(Data.Ratio) power?将数字提高到分数（Data.Ratio）幂？
【发布时间】：2015-11-17 11:25:09
【问题描述】：

像2^(2%1) 这样的表达式不会在 GHCi 中进行类型检查，并且错误消息很神秘。为什么这不起作用，我需要更改什么？

我无法转换为另一种类型，我想要像 27^(1%3) 这样的表达式。

【问题讨论】：

你希望结果是什么类型的？
相关：stackoverflow.com/q/6400568/2541573
@Ludwik 有一个Integral a => Fractional (Ratio a) 实例，但没有Ratio a 的Integral 实例。
AFAIK 在 Haskell 中有三个电源运算符：(^) :: (Num a, Integral b) => a -> b -> a、(^^) :: (Fractional a, Integral b) => a -> b -> a 和 (**) :: (Floating a) => a -> a -> a。所以指数要么是Integral要么是Floating，但没有可用的Fractional指数......你应该使用27**(realToFrac $ 2%3)。
我第二个拉姆达仙子；你希望结果是什么type？你想要Ratio 吗？（2^(1/2) 不是有理数。）你想要最接近的整数吗？你想要Double 吗？你想要什么type？

标签： haskell types ghci exponentiation

【解决方案1】：

为了解决“为什么这不起作用”——Haskell 的多重指数运算符实际上非常接近地反映了数学家定义指数的方式！

从头开始，您只知道（直接根据定义）对于自然 n，表达式 xⁿ 表示 1·x·x·x…, n 次使用 x。这正是^ 所实现的，而且它显然适用于任何数字类型（因为总是定义乘法）。
通过跨零的“反向延续”，将 x^-n 定义为 ¹/x·x·x…。这仅在您有乘法逆元（即分数）时才有效。好吧，Fractional，你知道的！这就是^^ 所做的。
要定义分数指数，您可以从考虑根开始。这些基本上就是你所要求的。然而，根实际上在数学上相当复杂。它们并不是真正独一无二的。这种根的结果类型将代表algebraic numbers。对于大多数用户来说，没有太多理由对这些数字进行专门处理，因此 Haskell 跳过了这一点。
现在你说，好吧，但我们当然可以为特定数字定义根。 27 的第三个根恰好是一个整数，但对于大多数其他数字来说，这不是真的。指定不当或部分功能是邪恶的；因此，我们需要像Num a => a -> Rational -> Maybe a 这样的签名。但结果通常会是Nothing，所以老实说，这将是一个非常无用的函数。如果您愿意，请自行实施。
如果您直接更进一步，它会更有用：从代数切换到微积分，数学家可以访问exponential 和对数函数，这些函数为您提供了所有幂表达式的全部内容，凭借平等
x^y = (exp(ln x))^y = exp(y · ln x)。
这在 x 为正^† 时有效。对于指数的定义，数学上你需要limits。这些存在于complete spaces，即“没有孔的空间”。根据定义，实数是完整的，但有理数不是！手动说明原因：Rational 是“无限准确的”，即每个值实际上都是一个精确的数字。但是，实际上您只能使用有限数量的此类有理数。
OTOH，浮点类型的设计不精确。 This often leads to confusion，但在数学上它实际上可以很好地解释：每个Double 值代表一个完整的实数间隔，如果你采用所有这些值的单位，你得到的不仅仅是一个集合离散点，但整个实线。
这就是 Floating 类及其 Double 实例表示完整空间的方式，以及该类具有 (**) :: Floating a => a -> a -> a 方法的原因。

^†_{在complex numbers 中，您甚至可以定义负数的对数，但这又会导致唯一性问题。}

【讨论】：

感谢您对数论的深入了解，真的很有见地。

【解决方案2】：

Haskell 有三个高级运算符：

(^) :: (Num a, Integral b) => a -> b -> a

这会使用正整数指数产生任何类型的数字。

您在输入 2^(2%3) 时收到类似 Could not deduce (Integral (Ratio a0)) arising from a use of ‘^’ 的错误，因为 Data.Ratio 不是 Integral 的实例。 GHC 发现^ 想要Integral，并注意到Data.Ratio 不能在这种情况下使用。
(^^) :: (Fractional a, Integral b) => a -> b -> a

该运算符允许负积分指数。请记住x^(-n) == 1/(x^n)。这就是为什么它需要Fractional。

请注意，指数必须仍然是整数。 2^^(1%2) 将不是是 Fractional 号码。
(**) :: Floating a => a -> a -> a

这是“全能”运算符。它可以将分数提高到分数幂。然而，这使用浮点数，而不是精确的有理数。

由于我们不能表示所有实数，因此当您需要不精确的操作时，他们决定简单地依赖浮点数。

因此您应该使用类型转换来执行该操作。一个可能的实现可能是：

realToFrac $ 27**(realToFrac $ 2%3) :: Rational

或者你可以定义一个新的操作符：

(*^*) :: (RealFrac a, RealFrac b) => a -> b -> a
x *^* y = realToFrac $ realToFrac x ** realToFrac y

这会让你写：

27 *^* (2%3)

^{我使用了两个*来提醒实现中使用的**，并且我添加了一个^来引用前两个运算符的类型...不确定是否这是有道理的，或者^** 或^^* 会更好。}

不过，最好直接使用Doubles。这实际上取决于数字代表什么以及您使用它们做什么。

【讨论】：