和和乘模答案

【问题标题】：Sum and multiplication modulo和和乘模
【发布时间】：2011-08-25 21:13:19
【问题描述】：

我有很大的数字K、C[1]、C[2]、C[3] 等，我必须计算 b：

b = C[1]*C[2]+C[3]*C[4]+... (mod K)

现在我计算总和，然后做类似的东西

b = SUM % K.

但是当 SUM 变得大于无符号长限制时这不起作用，所以我必须使用类似的东西

b = (C[1]*C[2] %K + C[3]*C[4] %K ) %K

但这很耗时。我尝试使用 unsigned long long 除了 unsigned long，这也很耗时。有没有更好的办法？

更新：

  C = (unsigned long long int *) malloc(N*sizeof(unsigned long long int));
  unsigned long int i, j, l;
  C[0] = 1;
  for (i=1; i<=N; i++) {
    C[i] = 0;
    l = (unsigned long int) i/2;
    for (j=0; j<l; j++) {
      C[i] += C[j]*C[i-j-1];
      C[i] = C[i] % K;
    }
    C[i] = C[i]*2;
    C[i] = C[i] % K;
    if (i - l*2 == 1) {
      C[i] += C[l]*C[l];
    }
    C[i] = C[i] % K;
  }

【问题讨论】：

那么，如果P 大约是2^100，你用什么数据类型来存储它？
总和约为 2^100。但如果我在每次乘法后计算 % P，大约是 2^16。
那么，您的意思是 P 小于 2^16 ？然后，您可以对所有算术函数使用 32 位整数。
问题是 SUM 太大。所以我必须在每次乘法后计算 % P，这使得程序非常慢。
你必须在每次乘法和每次加法后做% P，正确。但我怀疑这很慢。请通过编辑您的问题（最后添加）发布您拥有的整个代码，以便其他人可以查看和评论。也许还有其他问题，它很慢。

标签： c algorithm math

【解决方案1】：

计算

b = ( C[1]*C[2]+C[3]*C[4]+... ) % P

你可以这样做：

b = ( ( (C[1] % P) * (C[2] % P) % P )
    + ( (C[3] % P) * (C[4] % P) % P )
    + ...
    ) % P

由于所有操作的结果都不会大于(P-1)^2，因此如果您将所有中间结果保存在类型尽可能小的变量中，我希望这会更快。

如果数字 P 是某种特殊形式，例如 2 的幂，则有更快的方法。

在这个 SO 问题中：big-numbers-in-c，您会找到对 GNU Multiple Precision Arithmetic Library 的引用。如果不允许您使用这样的库，我想最好的选择是实现您自己的此类库（的子集）。

您可以将整数（大于 2^64）存储在数组中，并为这些数字定义加法、乘法、除法和取模函数。

【讨论】：

是的，mod 2^N 的例子很多，但是我找不到其他 P 的例子。这就是问题所在。
好像这个库帮不上忙。因为它会比当前的解决方案更慢。

【解决方案2】：

如果您可以将 K 分解为 pairwise relatively prime 数字 K₁,...,K_n 那么您可以为每个 K_{i 并使用 Chinese remainder theorem 将结果组合成 K 的结果。这通常要快得多，尤其是当 K_i 适合机器字时。}

【讨论】：

我看不出它如何解决 OP 的问题。 K 不超过 2^16。将 K 分解为 K1,...,Kn 可以得到什么？
没错，我可能错过了他声明限制的评论。对于2^100 会很有用，但对于2^16 则不然。

【解决方案3】：

模m算术是环同态。

那么说 f(x) = x%P

f(a+b) = f(a)+f(b) 还有

f(a*b) = f(a)*f(b)。

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

这意味着你可以在每一步之后做一个 mod P。

【讨论】：

不，我不能，因为数据类型的限制。