精确双除法

Question

考虑以下函数：

auto f(double a, double b) -> int
{
  return std::floor(a/b);
}

所以我想计算最大整数k 使得k * b <= a 在数学意义上。 由于可能存在舍入错误，我不确定上述函数是否真的计算了这个k。我不担心k 可能超出范围的情况。 确定这个k 的正确方法是什么？

Answer 1

这取决于你有多严格。取一个 double b 和一个整数 n，并计算 bn。然后 a 将被四舍五入。如果 a 向下舍入，则它小于 nb 的数学值，并且 a/b 在数学上小于 n。如果 n 而不是 n-1，您将得到一个结果。

另一方面，a == b*n 为真。所以“正确”的结果可能会令人惊讶。

你的条件是“kb b 的结果是

Answer 2

问题是浮点除法不准确。

a/b 可以给1.9999 而不是2，然后std::floor 可以给1。

一个简单的解决方案是在调用std::floor之前添加一个小值：

std::floor (a/b + 1.0e-10);

结果：

result = 10 while 11 was expected
With eps added, result = 11

测试代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

int main () {
    double b = atan (1.0);
    int x = 11;
    double a = x * b;
    int y = std::floor (a/b);
    std::cout << "result = " << y << " while " << x << " was expected\n";
    
    double eps = 1.0e-10;
    int z = std::floor (a/b + eps);
    std::cout << "With eps added, result = " << z << "\n";
    
    return 0;
}