将非终止二进制数转换为十进制

Question

我不知道如何将非终止二进制数（分数）转换为十进制。谁能指导我如何做一个例子？

Answer 1

如果您有一个以 2 为底的“重复小数”并且您知道 重复其中的一部分，可以将其转换为精确的 p/q 表示法中的有理数（其中 p 和 q 是整数）。

然后，您可以使用除法将该数字转换为普通十进制表示法，以达到您想要的任意位数的精度。 （在某些情况下，您甚至可以写出精确的十进制值。）

第一步是将二进制数分解为 重复和不重复的部分。

其实我们想要三样东西：

• 非重复部分，
• 第一次出现重复的数字块，并且
• 重复数字块的长度。

假设例如数字是：

1.0001100110011... (binary)

最后一个 0011 无限重复。

我们可以这样分解：

• 非重复部分为 1.0（二进制）
• 重复块的第一次出现是 0.00011（二进制），并且
• 重复块 (0011) 的长度为四位二进制数字。

二进制数的重复部分是几何级数 并且可以使用the standard formula for such a series进行评估：

a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ... = a/(1 - r).

将此公式应用于重复数字：

• a 的值只是重复块第一次出现的值
• 如果重复部分有n个二进制数字，公式中的比例r为1/2^n和1-r = (2^n - 1)/(2^n)。

对于示例 1.00011011011...（二进制），

• 从重复部分我们有 a = 0.00011 (binary) = 3/32
• 和 n = 4，所以 1 - r = (2^4 - 1)/(2^4) = 15/16。

因此

a/(1 - r) = (3/32) / (15/16) = 3/30 = 1/10,

我们可以写成 0.1（十进制）。

不重复的部分，当然是1（十进制），所以

1.00011011011...（二进制）= 1 + 0.1（十进制）= 1.1（十进制）。

在此示例中，十进制表示是终止且精确的。

有许多重复的二进制分数，其中没有精确的终止十进制表示，例如，

0.01010101...（二进制）= 1/3 = 0.3333...（十进制）。

在这种情况下，您必须决定在某些小数位数后四舍五入，或者找出并描述小数位数的重复模式。

Answer 2

如果二进制数是未终止的整数，它将是无限的（正或负）。你怎么能用十进制表示无限数？我认为是 ∞ 。

如果二进制数是浮点数，那么恭喜。在浮点数的许多标准（例如，IEEE 754）中，尾数由二进制模式表示，其中最高位的值为 1/2，第二位的值为 1/4，依此类推。所以你可以通过从左到右逐位累加将其转换为十进制。

例如，你有一个未终止的二进制模式说

10111011101110111011.......

要转换成十进制，只需将它们累积为

1*1/2 + 0*1/4 + 1*1/8 + 1 *1/16 + 1*1/32 + 0*1/64 + 1*1/128 + 1强>*1/256 ........

直到获得足够的精度。