计算序列中尾随零的数量

Question

考虑s(0) 和s(1) 是输入的序列，s(n) = s(n-1) * s(n-2) 是所有n >= 2。我想在s(n) 中找到尾随零的数量。我们可以假设：

• n、s(0) 和 s(1) 作为输入给出
• n <= 40
• s(0) <= 20
• s(1) <= 20

以下是我的代码尝试。 n 大于 30 时不运行（运行时间很长）。还有其他方法可以计算尾随零的数量吗？

public class Soroco {

  public static void main(String[] args) throws IOException {
    BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    BigInteger n = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger s0 = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger s1 = new BigInteger(br.readLine());
    BigInteger num = s(n, s0, s1);
    System.out.println(num);
    System.out.println(countTrailingZeroes(num));
  }

  static BigInteger s(BigInteger n, BigInteger s0, BigInteger s1) {
    if (n.equals(new BigInteger("0")))
        return s0;
    else if (n.equals(new BigInteger("1")))
        return s1;
    else {
        BigInteger n1=n.subtract(new BigInteger("1"));
        BigInteger n2=n.subtract(new BigInteger("2"));
        BigInteger n3=s(n1, s0, s1).multiply(s(n2, s0, s1));
        return n3;
    }
  }

  static int countTrailingZeroes(BigInteger num) {
    String str = String.valueOf(num);
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < str.length(); i++)
        if (str.charAt(i) == '0')
            count++;
    return count;
  }
}

Answer 1

public static void main(String[] args) throws IOException {

    BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

    int n = Integer.parseInt(br.readLine());

    int s0 = Integer.parseInt(br.readLine());

    int s1 = Integer.parseInt(br.readLine());

    int num21 = findNumberOf2s(s0);

    int num22 = findNumberOf2s(s1);

    int num51 = findNumberOf5s(s0);

    int num52 = findNumberOf5s(s1);

    int arr2[] = new int[n + 1];
    arr2[0] = num21;
    arr2[1] = num22;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        arr2[i] = arr2[i - 1] + arr2[i - 2];

    int arr5[] = new int[n + 1];
    arr5[0] = num51;
    arr5[1] = num52;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        arr5[i] = arr5[i - 1] + arr5[i - 2];

    System.out.println(Math.min(arr2[n], arr5[n]));

}

static int findNumberOf2s(int num) {
    int num2 = 0;
    while (num % 2 == 0) {
        num = num / 2;
        num2++;
    }
    return num2;
}

static int findNumberOf5s(int num) {
    int num5 = 0;
    while (num % 5 == 0) {
        num = num / 5;
        num5++;
    }
    return num5;
}

Answer 2

不需要执行整个乘法，您只需要跟踪 2 和 5 的因数。如果一个数字可以写为N = 2^a * 5^b * (factors other than 2 or 5)，那么N 中尾随零的数量为min(a, b)。 （这是因为尾随零只是 10 的因数，需要一个 2 和一个 5。）

请注意，乘法将因子的指数相加。所以，如果你能写：

s(n-2) = 2^a * 5^b * (factors other than 2 or 5)
s(n-1) = 2^c * 5^d * (factors other than 2 or 5)

那么我们有：

s(n) = s(n-1) * s(n-2)
     = 2^(a+c) * 5^(b+d) * (factors other than 2 or 5)

因此，我们可以将这个问题视为两个Fibonacci sequences。您从s(0) 和s(1) 中的2 和5 的数量开始，并以斐波那契序列的方式计算s(2), s(3), ..., s(n) 中的2 和5 的数量：

#2s in s(n) = (#2s in s(n-1)) + (#2s in s(n-2))
#5s in s(n) = (#5s in s(n-1)) + (#5s in s(n-2))

最后，尾随零的数量是min(#2s in s(n), #5s in s(n))。

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上述算法（如果使用循环或记忆递归实现）是O(n)。您的尝试在n 中呈指数级增长，这就是为什么即使n = 30 也需要很长时间才能运行。我并不是要抨击您的尝试，但最好理解这些错误——您的代码运行缓慢主要有两个原因：

首先，将非常大的整数与完全精度相乘（就像您对BigInteger 所做的那样）非常慢，因为每次乘法时位数可能会翻倍。如果您只关心尾随零的数量，则不需要完全精确。

其次，忽略乘法的成本，您对 s 的递归实现仍然是指数时间，但不一定是。请注意，您多次计算相同的值——s(n-2) 是分别为s(n) 和s(n-1) 计算的，但s(n-2) 的值显然是相同的。诀窍是通过记住先前计算的结果来memoize the recursion，以避免重新计算。或者，您可以使用循环计算类似斐波那契的序列：

// Computes the n-th Fibonacci number in O(n) time
int[] fib = new int[n + 1];
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
    fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
return fib[n];

这是一种比记忆递归简单得多的方法，至少对于这个问题而言。