指数时间复杂度

Question

斐波那契的时间复杂度是O(2^n) 如果我想获得 3^n 的时间复杂度怎么办？

根据我朋友的说法，斐波那契的时间复杂度是 O(2^n)，这是由于以下步骤：-

return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)

另外他说如果我们写的话，它会变成O(3^n)：-

return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)+fibonacci(n-3)

有人能说出为什么会这样吗？

据他说，这是因为我们在每一步都调用了两次斐波那契函数，这就是为什么它是 O(2^n)。如果是这样，那么以下代码的复杂度应该是 O(k^k) 但据我所知它是 O(n)

void permute(int k,int size) {  
    // some base case    
    for (i=k-1;i>=0;i--)          
    permute(k-1,size);  
    return; 
}

他的逻辑在我看来是垃圾。对我来说，由于合并成本，它是 2^n。 尽管函数在每一步调用自身两次，但二叉树遍历成本也是如此。

谁能告诉我我们当中谁错了，实际逻辑是什么？

Answer 1

实际上 O(2^n) 有点过冲（但仍然正确，因为 big-O 是一个上限），it's more like ~θ(1.6^n)。

试着描绘一棵递归树。每个节点都分裂成2，树的深度是n，所以最终结果大约是O(2^n)。

同理，O(3^n)的例子，每个节点分裂成3个，深度还是n。

但是对于 O(3^n)，我宁愿推荐这样的东西：

someFunction(n)
  if (n == 0)
    return 1
  return someFunction(n-1) + someFunction(n-1) + someFunction(n-1)

当然，这可以通过将最后一个 return 语句更改为：

return 3*someFunction(n-1)

但这并不是重点（也可以在 O(n) 中计算第 n 个斐波那契数）。

现在很容易评估。

n 有 1 个调用，n-1 有 3 个调用，n-2 有 3*3，n-3 有 3*3*3 等等。

运行时间为 O(3^n)。

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对于permute 函数：

由于您将k-1 传递给递归调用（不是i），因此您有1 调用k，k-1 用于k-1，(k-1)(k-2) 用于k-2，(k-1)(k-2)(k-3)对于 k-3 等。

所以看起来像O((k-1)!)。

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如果您改为传递i，您将有1 调用k，1 用于k-1，1+1=2 用于k-2，1+1+2=4 用于k-3，@987654337 @ 代表 k-4，16 代表 k-5，等等。

所以看起来像O(2^(k-1))。

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二叉树遍历需要O(n)，但n不是二叉树的高度，而是节点的数量。在斐波那契示例中，n 是高度。如果我们要根据高度来考虑遍历平衡二叉树需要多长时间，我们也会得到O(2^height)，从一些基础数学来看，它最终是O(n)。

Answer 2

这个previous answer 应该让你了解斐波那契数列算法的时间复杂度。

那么，基于同样的答案原则，你的新序列算法可以表示为

T(n) 
= T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) 
= ( T(n-2)+T(n-3)+T(n-4) )+( T(n-3)+T(n-4)+T(n-5) )+( T(n-4)+T(n-5)+T(n-6) )
= ...

您会看到每个节点创建了 3 个新节点。那算法复杂度变成O(3^n)

来自 Wolfram 的图像：（考虑节点 13 到 37 在下面继续，因为树的底部不是“平坦的”，因为第一级“n-3”节点将在“n-2”之前完成，在“n-1”之前完成，等等...）