二进制计算机如何确定一个非常大的数字 N (N>10^10) 是否可以被一个小的素数 p (2<p<30) 整除？答案

【问题标题】：How do binary computers find if a very big number N (N>10^10) is divisible or not by a small prime p (2<p<30)?二进制计算机如何确定一个非常大的数字 N (N>10^10) 是否可以被一个小的素数 p (2<p<30) 整除？
【发布时间】：2014-12-08 16:17:26
【问题描述】：

如果计算机使用以 6 为底（senary），他们可以很容易地找出 N 是否可以被 2 或 3 整除，并且由于数字和规则（欧米茄和 alpha 总和），他们还可以轻松地确定 N 是否可以被 3 整除5 或 7。

但是计算机使用 base 2（二进制）。所以他们可以很容易地确定 N 是否可以被 2 整除，并且由于数字和规则（alpha 总和），他们还可以确定 N 是否可以被 3 整除。

要确定 N 是否能被 5 整除，他们可以将 N 转换为以 16 为底（十六进制），然后使用数字和规则（欧米茄总和）来确定 N 是否能被 5 整除。

不知道……还有其他方法吗？

【问题讨论】：

好吧，你可以做常规的长除法并检查余数。
信不信由你，计算机可以除二以外的数字。
10**10（11 位）不是一个大数字。已知最大的素数（我们知道的数只能被 1 和自身整除）有超过 1000 万位。
对于小数字，例如10**10，请参阅The integer division algorithm of x86 processors
对于更大的数字，请参阅what division algorithms GNU MP library uses

标签： binary primes integer-division prime-factoring factorization

【解决方案1】：

它会像解决任何其他 64 位整数一样解决这个问题。

log2 10^10 ~= 33.219

这意味着这个数字和许多其他数字都可以用 64 位整数表示。

你可以测试一下

std::vector<int64_t> primes = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}; 
int64_t  mynumber = 0x2540BE400;

for (int64_t prime : primes)
{
    if (mynumber % prime == 0)
    {
        std::cout << mynumber << " is divisible by " << prime << std::endl;
    }
}

关于%和/的实现细节可以参考以下论文：http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:347845/FULLTEXT01.pdf

【讨论】：