图论割宽

Question

有人可以向我解释什么是区间图的截宽并举个例子吗？

我找到了这个定义，但我不明白：

图 G 的割宽等于对其顶点进行排序的最小成本。

Answer 1

您的定义有点不完整： 您还应该包括与图表排序相关的成本定义。在您可能引用的定义中，此成本定义如下：

对于任何节点集合 S，相应的成本 c'(S) 由从 S 中任何节点 出发的边数给出 em> 到任何节点S之外

由此，订购的成本v_1, ..., v_n 定义为所有子集v_1, ..., v_i 的最大成本，其中i = 1, ..., n - 1
根据前面的定义，这意味着您取从低阶节点到高阶节点的最大边数，您可以在低阶和高阶之间任意选择“切割”。

那么切割宽度是节点的最佳排序的成本（即成本最小的节点排序）。

当我们将此应用于区间图时，即其 节点 是区间且其 边 表示这些区间之间的交点的图，成本 c'( S) 是子集outside S与区间inside S之间的交集数。

由此可见，区间图的割宽是区间最优排序的代价，即高阶区间与低阶区间相交的次数最少。

很遗憾，对于给定的区间图，我无法给你一个确切的计算规则，但我会给你一个小例子：

取区间 [0,4],[0,1],[2,3],[1.5,2.5],[3.5,5] 得到下图：

无论你如何排序区间，如果你在 4 周期中选择了两个区间 [0,4],[0,1.9],[1.5,2.5],[2,3]顺序，循环中的其他两个区间将与前两个区间至少有两个交点，这意味着割宽至少为2。

同时，排序 [0,1.9],[1.5,2.5],[2,3],[0,4],[3.5,5] 为您提供了 2,2,2,1 的削减成本 @ 987654327@，所以这个图的割宽最多为2。

结合这些结果，可以看到图的cutwidth为2。

也许可以将割宽的这种上限和下限推广到所有区间图，但目前我无法为您提供该问题的完整解决方案。