【发布时间】：2016-05-01 02:46:53
【问题描述】：
给定一个加权有向图，我们希望找到全局最小割 - 即，如果删除一组边，将图分成两半，并且与任何其他此类割相比，它们的总权重最小。
现在，虽然以下似乎可行，但有人告诉我推理是错误的。但坦率地说，我不知道他是怎么确定的，我不确定他有多确定：
考虑由全局最小割（即 s-t-cut，其中s in U, t in V）分隔的节点集U,V。注意：我们不关心从V 到U 的边缘。
对于任何u in U, v in Vm，u-v-cut 不能小于s-t-cut，否则，s-t-cut 不会（全局）最小。出于同样的原因，u 中的两个顶点或V 中的两个顶点之间的没有切割可以更小。
另一方面，uv-cut 也不能更大，否则，它需要包括一些边缘U->V 不是 st-cut 的一部分，这意味着 st-cut 根本没有切割。
因此，任意修复s 并遍历所有其他顶点x 就足够了。 s 在U 中，那么如果x 在V 中，则sx-cut 对应于全局最小值，或者如果s 在V 中并且x 中，则xs-cut 对应于全局最小值在U。如果它们都是同一集合的一部分，则切割将至少与全局最小值一样大（但可能更大）。
因此，我们最终将通过计算两者来找到全局最小值，并跟踪目前遇到的最小割。
这对我来说似乎很有意义。我错了吗？如果是这样，为什么？
【问题讨论】：
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假设您假设
s在U中，而x在V中。为什么s-x割对应全局最小值？全局最小切割必须将s同时 与V中的所有顶点分开，并且可能与最小s-x切割无关。 -
抱歉，我还是没看到。你能举一个不是这种情况的例子吗？
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不确定这是否是您所要求的，但是是的，通过固定一个顶点 s 并计算所有顶点 t 的所有 st 和 ts 最小割，您最终会找到一个全局最小割.但是，运行时间将是 Ω(n * (计算最小 s-t 割的时间))，这不是很好
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嗯。这可以作为一个例子吗？边 = {(s, a, 2), (s, b, 1), (a, b, 1), (b, a, 1), (a, c, 1), (b, c, 2) }。有多个权重为 3 的全局最小割，但从
s到其他顶点的最小割的权重为 1 或 2。 -
@TedHopp 好的，不要介意我之前的评论。因此，在您的示例中，全局最小切割将是 ({c}, {a,b,s}) 的权重 0（因为从 c 到任何其他顶点都没有边）。但是那个割也是权重为 0 的 c-s 割，所以不矛盾