这是一个最优的素数生成器吗？答案

【问题标题】：Is this an optimal prime generator?这是一个最优的素数生成器吗？
【发布时间】：2013-05-27 20:08:58
【问题描述】：

这是否是寻找素数的最佳解决方案？我并不想在阳光下添加所有优化，但主要是好的吗？

def primesUpto(self, x):
    primes = [2]
    sieve = [2]
    i = 3
    while i <= x:
        composite = False
        j = 0
        while j < len(sieve):
            sieve[j] = sieve[j] - 1
            if sieve[j] == 0:
                composite = True
                sieve[j] = primes[j]
            j += 1
        if not composite:
            primes.append(i)
            sieve.append(i*i-i)
        i += 1
    return primes

【问题讨论】：

标签： python algorithm primes sieve-of-eratosthenes sieve

【解决方案1】：

嗯，很有趣。您的代码实际上是诚实的 Eratosthenes 的真正筛子恕我直言，通过将它为遇到的每个素数设置的每个计数器递减 1 来沿递增的自然数计数在每一步。

而且效率很低。 Tested on Ideone 它运行在相同的 empirical order of growth ~ n^2.2 （测试范围内产生几千个素数）和著名的低效 Turner's trial division sieve （在 Haskell 中）。

为什么？几个原因。首先，在您的测试中没有提前救助：当您检测到它是一个组合时，您会继续处理计数器数组sieve。由于第二个原因：您必须计算差异将每个计数器减1 step，0代表你当前的位置。这是原始筛恕我直言最忠实的表达，而且效率很低：今天我们的 CPU 知道如何在 O(1) 时间内添加数字（如果这些数字属于某个范围，0 .. 2^32，或者0 .. 2^64，当然）。

此外，我们的计算机现在也有直接存取存储器，并且在计算出遥远的数字后，我们可以将它标记在随机存取数组中。这是现代计算机上埃拉托色尼筛效率的基础——直接计算和倍数的直接标记。

第三个，也许是效率低下的最直接原因，是对倍数的过早处理：当您遇到 5 作为素数时，您将其第一个倍数（尚未遇到）即 25，立即添加到计数器数组中，sieve（即当前点与倍数之间的距离，i*i-i)。这太快了。 25 的加法必须推迟直到......好吧，直到我们在升序自然数中遇到 25。开始过早地处理每个素数的倍数（在p 而不是p*p）导致需要维护的计数器太多 - 其中O(n)（其中n 是产生的素数的数量），而不是只是O(π(sqrt(n log n))) = O(sqrt(n / log n))。

推迟优化when applied on a similar "counting" sieve in Haskell 将其经验增长顺序从~ n^2.3 .. 2.6 的n = 1000 .. 6000 素数降至略高于~ n^1.5（速度明显提高）。当计数进一步被直接加法取代时，所得的测量经验增长顺序为~ n^1.2 .. 1.3，产生多达一百万个素数（尽管它很可能会在~ n^1.5 上获得更大的范围）。

【讨论】：

感谢您的评价，帮助很大。