特征库是否执行高斯归约以解决齐次系统？

【问题标题】：Is Eigen library perform gaussian reduction in order to solve homogeneous system?特征库是否执行高斯归约以解决齐次系统？
【发布时间】：2021-10-10 10:51:08
【问题描述】：

我曾经使用 Cholesky/LU 分解来解决 Eigen 的线性问题，但现在我必须解决一个线性齐次系统（我的线性系统的右侧是零向量）。为了找到解空间，我必须对我的方阵进行高斯归约，但我在 Eigen 的文档中找不到任何高斯归约算法。那么这是关于 Eigen 的任何高斯归约算法吗？

【问题讨论】：

不确定你到底在问什么。 LU分解与高斯归约相同。如果您的矩阵是秩不足的，请确保使用旋转分解。

标签： linear-algebra eigen matrix-decomposition

【解决方案1】：

如果您有系数矩阵A 的特征分解，则齐次系统的解将是可以写为与特征值 0 相关联的特征向量的线性组合的任何向量。

函数eig 为您提供矩阵的特征分解。数值误差会导致特征向量不准确，因此您只需选择具有最小量级的特征向量，然后您就可以通过这种方式解决最小二乘问题。

所以你的问题归结为

w, v = np.linalg.eig(A)
x = v[:,np.argmin(abs(v))]

那么A @ x 近似为空向量。

【讨论】：

感谢您的回复，所以这意味着如果我的矩阵没有特征值 0 唯一的解决方案是空向量？
是的，没错，通常条件是系数矩阵的行列式为零，但请记住，行列式是特征值的乘积。因此，当且仅当所有特征值都非零时，行列式非零。