给定 S 个 n 个正整数的集合，我们想知道是否可以找到一个组合S 中每个数字的符号数（+ 或 -），使得 S 的和为 0。
如何有效地解决这个问题？基于类似的问题，我想某种动态编程是有序的。有没有关于这个特定问题的文献（我找不到它）。
我猜这类似于子集和问题。但是，现在我们必须使用整个集合，并且对于每个整数 si 我们可以包含 -si 或 +si，但不能同时使用。
【问题讨论】：
标签： algorithm dynamic-programming complexity-theory np
这个问题的解决方案涉及到子集和问题。
如果有办法求和到数组总和的一半，那么我们可以将所有这些数字设置为负数。其余的数字将是正数。因为这些子集中的每一个的总和都是总和的一半，所以它们各自的总和将为 0。
这是c++中的代码：
#include<stdio.h>
int arr[] = {1, 2, 2, 3, 4};
int n = 5; // size of arr
int sum = 0;
// dp array only needs to be [n + 1][total sum + 1] big
bool dp[30][100];
inline void subset_sum(){
for (int i = 0; i <= sum; i++)
dp[0][i] = false;
for (int i = 0; i <= n; i++)
dp[i][0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= sum; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (arr[i - 1] <= j)
dp[i][j] |= dp[i - 1][j - arr[i - 1]];
}
}
}
int main(){
for (int i = 0; i < n; i++)
sum += arr[i];
// run subset sum dp using a bottom-up approach
// True = sum is possible, False = not possible
subset_sum();
int max_half;
for (int i = sum / 2; i>=1; i--){
if (dp[n][i]){ // it is possible to sum to i using values in arr
max_half = i;
break;
}
}
// output will be the closest sum of positives
// and negatives to 0
printf("%d\n", 2 * max_half - sum);
return 0;
}
此代码的输出将是集合中正数和负数组合的最接近的可能总和为 0。
2 * max_half - sum 可以从max_half - (sum - max_half) 推导出来，这将是我们最好的和减去其余数字。
以下是不同数字集及其各自输出的一些示例：
设置：{1, 2, 2, 3, 4}，输出：0。
设置：{1, 1, 1, 1, 1}，输出：-1。
设置：{5, 2, 6, 8, 9, 2}，输出：0。
设置：{1, 50}，输出：-49。
子集和问题网上有many explanations，这里就不解释了。
这段代码的时间复杂度是O(n * sum)，空间复杂度是O(n * sum)。
通过使用一维 dp 数组，也可以牺牲一些时间复杂度来提高空间复杂度。
【讨论】：
鉴于问题似乎是 NP 完全的， 使用 SAT、MILP、CP 或 ASP 求解器是最佳选择， 因为这些都是为解决这类问题而量身定制的。
解决方案
这是一个使用 ASP（答案集编程）的解决方案。
给定一个文件instance.lp：
value(12).
value(12).
value(1).
value(2).
value(3).
value(5).
value(6).
value(7).
还有文件encoding.lp:
% every value can be positive (or not)
{pos(X)} :- value(X).
% fail if the sum is not 0
:- not 0 = #sum {V : pos(V); -V : not pos(V), value(V)}.
% format output
#show pos/1.
#show neg(V) : not pos(V), value(V).
问题可以使用clingo解决， potassco 工具集的 ASP 求解器（可通过 conda、pip、Ubuntu Package Manger 等轻松安装）。
调用：
clingo instance.lp encoding.lp
给你结果：
Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)
您可以列举所有可能的解决方案：
clingo instance.lp encoding.lp 0
给你
Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)
Answer: 2
pos(2) pos(3) pos(6) pos(7) neg(5) neg(1) neg(12)
Answer: 3
pos(5) pos(6) pos(7) neg(3) neg(2) neg(1) neg(12)
Answer: 4
pos(12) pos(1) pos(2) pos(3) neg(7) neg(6) neg(5)
Answer: 5
pos(12) pos(6) neg(7) neg(5) neg(3) neg(2) neg(1)
Answer: 6
pos(12) pos(1) pos(5) neg(7) neg(6) neg(3) neg(2)
平均售价
使用ASP解决问题的优势在于：
编辑
也可以复制粘贴两个文件的内容，自己在线查看结果，使用clingohere的js编译
【讨论】：