0.0 和 1.0 之间有多少个双数？答案

【问题标题】：How many double numbers are there between 0.0 and 1.0?0.0 和 1.0 之间有多少个双数？
【发布时间】：2011-02-28 01:35:51
【问题描述】：

这是我多年来一直在想的事情，但我从来没有花时间问过。

许多（伪）随机数生成器生成一个介于 0.0 和 1.0 之间的随机数。从数学上讲，这个范围内有无限个数，但double 是一个浮点数，因此具有有限的精度。

所以问题是：

0.0 到 1.0 之间到底有多少个 double 数字？
1 和 2 之间的数字是否一样多？在 100 和 101 之间？在 10^100 和 10^100+1 之间？

注意：如果它有所作为，我对 Java 对 double 的定义特别感兴趣。

【问题讨论】：

标签： random floating-point double precision

【解决方案1】：

Java doubles 是 IEEE-754 格式，因此它们有 52 位小数；在任意两个相邻的 2 次方之间（包括一个但不包括下一个），因此将有 2 到 52 次方不同 doubles（即其中 4503599627370496 个）。例如，这就是包含 0.5 和排除 1.0 之间的不同 doubles 的数量，并且恰好也有很多介于 1.0 包括和 2.0 排除之间，等等。

在 0.0 和 1.0 之间计算doubles 比在 2 的幂之间计算更难，因为在该范围内包含许多 2 的幂，而且还涉及到非规范化数字的棘手问题。指数的 11 位中有 10 位涵盖了所讨论的范围，因此，包括非规格化数字（我认为有几种 NaN），您将有 1024 倍于 doubles，因为介于 2 的幂之间——无论如何，总共不超过2**62。排除非规范化 &c，我相信计数将是 1023 次 2**52。

对于像“100 到 100.1”这样的任意范围，它甚至更难，因为上限不能精确地表示为 double（不是任何 2 的幂的精确倍数）。作为一个方便的近似值，由于 2 的幂之间的级数是线性的，您可以说所述范围是 2 的周围幂（64 和 128）之间的跨度的0.1 / 64th，所以你会期望大约

(0.1 / 64) * 2**52

不同的doubles -- 与7036874417766.4004... 给予或接受一两个；-)。

【讨论】：

@Alex：请注意，当我写 100 到 100.1 时，我写错了。我的意思是 100 到 101。基本上，任意 N 在 N 和 N+1 之间。
@Alex：所以让我直截了当地说：可能的双精度值不能超过 2**64（因为它是 64 位类型），显然这些值中有很大一部分位于 @ 987654337@?
@polygene，是的，是的——具体来说，大约四分之一的可能值（对于任何基数和指数与分数长度的任何“正常”浮点表示）介于 0.0 和 1.0 之间（另一个四分之一在 1.0 和无穷大之间，剩下的一半在实轴的负半边）。本质上，指数的一半值（具有正常偏差，在其范围内的一半）表示底的负幂，因此数字
@polygenelubricants：对于许多应用程序，0 和 1 之间的范围比 100 和 101 之间的范围更重要和有趣，这就是为什么它获得更大份额的值。例如，在物理学中，您经常需要处理非常小的值，例如牛顿的引力常数 6.67e-11。具有良好的精度比 100 到 101 之间更有用。阅读floating-point-gui.de 了解更多信息。
您还可以将任何数字缩放到 0.0 和 1.0 之间，单独跟踪比例，从而减少计算错误。当整个数轴可以在两个数字之间映射时，这很好！

【解决方案2】：

表示介于0x0000000000000000 和0x3ff0000000000000 之间的每个double 值都位于区间[0.0, 1.0] 中。那是 (2^62 - 2^52) 不同的值（加或减一对取决于您是否计算端点）。

区间[1.0, 2.0]对应0x3ff0000000000000和0x400000000000000之间的表示；这是 2^52 个不同的值。

区间[100.0, 101.0]对应0x4059000000000000和0x4059400000000000之间的表示；这是 2^46 个不同的值。

在 10^100 和 10^100 + 1 之间没有双打。这些数字中的任何一个都不能用双精度表示，并且它们之间没有双精度数。最接近的两个双精度数是：

99999999999999982163600188718701095...

和

10000000000000000159028911097599180...

【讨论】：

+1，以获得得到充分支持的准确答案。（如果您对端点计数很挑剔，请记住 +0.0 和 -0.0 具有不同的表示形式。）
+1，这样一个扭曲的结局！感觉就像我在读 M. Night Shyamalan 的剧本！

【解决方案3】：

其他人已经解释过 [0.0, 1.0] 范围内大约有 2^62 个双精度数。
（不足为奇：几乎有 2^64 个不同的有限双精度数；其中一半是正数，大约一半那些

但是您提到了随机数生成器：请注意，生成介于 0.0 和 1.0 之间的数字的随机数生成器通常无法生成所有这些数字；通常它只会产生 n/2^53 形式的数字，其中 n 为整数（参见例如nextDouble 的 Java 文档）。因此，random() 输出通常只有大约 2^53（+/-1，取决于包含哪些端点）可能的值。这意味着 [0.0, 1.0] 中的大多数双精度数将永远不会生成。

【讨论】：

【解决方案4】：

IBM 的文章 Java's new math, Part 2: Floating-point numbers 提供了以下代码 sn-p 来解决这个问题（在浮点数中，但我怀疑它也适用于双精度数）：

public class FloatCounter {

    public static void main(String[] args) {
        float x = 1.0F;
        int numFloats = 0;
        while (x <= 2.0) {
            numFloats++;
            System.out.println(x);
            x = Math.nextUp(x);
        }
        System.out.println(numFloats);
    }
}

他们对此有这样的评论：

事实证明，在 1.0 和 2.0（含）之间恰好有 8,388,609 个浮点数；大，但几乎没有这个范围内存在的无数个实数。连续的数字相距约 0.0000001。该距离称为 ULP，表示精度最低的单位或最后的单位。

【讨论】：

是的，但那是 float，not double -- floats 有 23 位的分数，所以 2**23 -> 8388608 相邻之间的值不同2 的幂（“包容性”部分当然意味着你必须再数一个，下一个是 2 的幂）。 doubles 有 52 位小数！
@Alex：我想我必须让程序（修改为双打）运行到宇宙的尽头左右才能得到结果...... :(
我觉得自己很笨；我刚刚写了double 等价物并想“嘿，我会在大约 5 分钟内回答我自己的问题……”
@polygene：这感觉就像一个欧拉计划问题，显而易见的方法是不可行的计算，但必须有一些非常简单的公式来解决任意情况......
也许不是真正的超级计算机：在一台机器上运行内循环只需一纳秒，在相邻的两个幂之间计算 double 大约需要 52 天（println 的当然，无论如何，非常不太可能跑得那么快，所以让我们假设一个语句消失了;-)。我认为在功能强大但现实的机器上花一年或更短的时间是可行的；-)。

【解决方案5】：

2^53 - 64 位浮点数的有效位/尾数的大小，包括隐藏位。
大约是的，因为有效数字是固定的，但指数会发生变化。

请参阅wikipedia article 了解更多信息。

【讨论】：

您对 2 的回答与我对 FP 工作原理的理解相矛盾。
我认为1 是错误的，因为隐藏位始终为一——因此，2^52，not 2^53 distinct 值（在两个相邻的幂之间，包含一个，排除下一个 - not 介于 0.0 和 1.0 之间！）。

【解决方案6】：

Java double 是一个 IEEE 754 binary64 数字。

这意味着我们需要考虑：

尾数是 52 位
指数是 11 位数字，偏差为 1023（即添加了 1023）
如果指数全为 0 且尾数不为零，则称该数字未归一化

这基本上意味着总共有 2^62-2^52+1 个可能的双重表示，根据标准在 0 和 1 之间。请注意，2^52+1 是为了删除非标准化数字。

请记住，如果尾数为正但指数为负数为正但小于 1 :-)

对于其他数字，这有点困难，因为边缘整数可能无法在 IEEE 754 表示中以精确的方式表示，并且因为指数中使用了其他位来表示数字，所以越大数字越低，不同的值。

【讨论】：