如何判断一个数字是否完全可以表示为 32 位 IEEE 浮点数？答案

【问题标题】：How to tell if a number is exactly representable as a 32-bit IEEE float?如何判断一个数字是否完全可以表示为 32 位 IEEE 浮点数？
【发布时间】：2020-01-18 15:57:05
【问题描述】：

这是我教科书中的一个任务

给定一个字长为 32 位的假设计算机，按以下方式划分：
符号位 1 位
9 位偏置指数
23位尾数部分

2^-1 + 2^-29 是这台计算机上的机器号吗？我该如何确定这一点？

【问题讨论】：

32 位不能分成 1 个符号位、9 个指数位和 23 个有效位，因为 1+9+23 = 33，而不是 32。有时关于有效位的措辞是混乱的，因为数学有效位可以是 x+1 位，而有效位的主要编码使用 x 位（从指数编码派生的多 1 位）。 IEEE-754 标准 binary32 格式使用 1-8-23，因此我们怀疑，由于 1+9+23=33 表示错误并且数字接近 1-8-23，因此格式为 1-8- 23.但是教科书可能会故意使用非标准格式。这应该澄清......
... 除了它不会改变答案的事实； 2^-1 和 2^-29 对于 23 位或 24 位有效位来说相距太远。

标签： floating-point binary bit cpu-architecture ieee-754

【解决方案1】：

2^-1 + 2^-29 是这台计算机上的机器号吗？
我该如何确定这一点？

假设假设格式使用基数 2（未指定），那么 2^-1 和 2^-29 都可以精确表示为 2 的小幂。让我们称他们为a_1 和a_29 并假设a_1 > a_29 > 0

"1 位为符号位， 9位偏置指数， 23 位尾数部分”类似于binary32。如果它遵循所有这些规则（包括次法线），那么不同值之间的任何减法都不会导致 0。这对于下一步很重要。

设置和/差acc = a_1 +/- a_29 和acc_1 = acc - a_1。如果acc_1 == +/-a_29，则acc 被精确表示，否则acc 不完全是和/差a_1 +/- a_29，只是一个四舍五入的结果。

在 2^-1 和 2^-29 的情况下，差异无法准确表示，因为“23 位尾数部分”太窄而无法准确编码2^{-1 - 29} 的相对差异。为此，我们需要大约“27-28 位尾数部分”。

【讨论】：

关于下溢的有趣点，但问题是关于加法而不是减法。 - 符号在指数中。（好吧，问题不是真的关于 FP 添加，但在这种情况下，输入都是完全可表示的，因此您可以这样处理。当然，假设二进制浮点数；在我编辑问题之前被标记为 ieee 并且 IEEE 二进制浮点数比 IEEE 十进制浮点数更常见。）
@PeterCordes 修正了和/差计算的答案。不会太大改变整体流程。

【解决方案2】：

abs((-1) - (-29)) 大于尾数宽度，所以不，这将需要太多有效数字（尾数位）。

如果您以非指数二进制点表示法写出它们，例如0.10000...0001，则两个之间的差距将大于尾数。（它就像一个小数点，但它是二进制位值，所以我们称之为二进制点。）

即对于 2^-1，2^-29 小于 1 ulp。（ULP = 最后一位的单位 = 尾数的低位。）

二进制浮点数可以表示固定数量的（二进制）“有效数字”，等于尾数宽度，与指数无关。 (https://en.wikipedia.org/wiki/Significant_figures)

请注意，尾数的存储宽度仅为 23 位，但有一个隐含的前导 1（用于规范化数字）。 https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

所以 1 + 2^-23 是完全可表示的。即 1 ulp 相对于 1.0 = 2^-23。（相关：https://en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon 像 C FLT_EPSILON 是 1.0 的半个 ulp，所以 binary32 浮点数为 2^-24。它是您可以添加到 1.0 的最大值，并且仍然将结果舍入到 1.0，即最大添加到1.0时会出现舍入错误）

请注意，许多现代文档使用“有效位”而不是“尾数”，因为它在数学上更正确。

【讨论】：