您如何计算四舍五入为整数的随机值的预期平均值？

Question

例如，考虑以下伪代码：

round(random(0.3, 1.9))

通过四舍五入到最接近的整数并随机生成介于 0.3 和 1.9 之间的统一浮点数，一百万个样本的平均值约为 1.125，而不是 1.1 的幼稚平均值。

如何在不实际生成几千个数字的情况下通过算法推导出该数字？

希望这不是一个微不足道的问题，但我似乎无法找到一个简单的解决方案。

Answer 1

这是一个相当通用的解决方案：

首先请注意，问题可以简化为计算(a,b) 范围内随机数的下限的期望值，因为round(X) 的分布与floor(Y) 的分布相同，其中Y = X + 0.5（如果X 是U(a,b)，则Y 是U(a+0.5,b+0.5)）。减少到下限的好处是我们不需要根据a 或b 分别向上或向下舍入来分解。

让：

A = floor(a)
B = floor(b)
pA = (A + 1 - a)/(b-a)
pB = (b-B)/(b-a)

pA 是A 的概率，pB 是B 的概率。如果A 和B 以外的整数是可能的，则它们均匀分布在区间[A+1,B-1] 中。在既不是A 也不是B 的情况下，floor(X) 的期望值因此是(A+B)/2。这种有条件的期望需要通过这种值发生的概率来加权。综上所述，我们有：

E(floor(X)) = pA*A + pB*B + (1-pA-pB)*(A+B)/2

有一些微妙之处。上述参数隐含地假设(a,b) 至少包含1 个整数。如果不是，则 pA 和 pB 的计算不正确，但在这种情况下 A = B = (A+B)/2 和上面的公式仍然正确地将其作为预期值返回。

以下是一个 R 实现。第一个函数实现了上述公式，第二个函数显示了如何减少舍入问题。如果你不懂 R，<- 是赋值运算符，函数定义中的最后一个表达式是返回值。

efloor <- function(a,b){
  A <- floor(a)
  B <- floor(b)
  pA <- (A+1-a)/(b-a)
  pB <- (b-B)/(b-a)
  pA*A + pB*B + (1-pA-pB)*(A+B)/2
}

eround <- function(a,b){
  efloor(a+0.5,b+0.5)
}

例如，

> eround(0.3,1.9)
[1] 1.125

Answer 2

在[0.3,0.5) 上，您得到0 的值，在[0.5,1.5) 上，1 上的值和[1.5,1.9) 上的值2。由于随机数是均匀的，它们的概率与区间长度成正比，全长为1.9-0.3=1.6。因此理论平均值为

0.2/1.6*0 + 1.0/1.6*1 + 0.4/1.6 * 2 = 1.8/1.6 = 1.125.