集合中数字重复的子集求和算法答案

【问题标题】：Subset sum algorithm with repetition of numbers in the set集合中数字重复的子集求和算法
【发布时间】：2012-08-09 10:11:32
【问题描述】：

我有一个包含自然数的集合 S 和一个数字目标 t。我想知道
我们怎样才能找到这些数字的可能组合的数量，这些数字总和为目标 t。
一个数字可以被取任意次数，并且可以取任意数量的数字来获得总和等于目标 t。

Example
target  6
Set s  {3,8,1,2}
Solution   3+3, 3+2+1, 1+1+1+3, 2+2+2, 2+1+1+2, 2+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1
Total No of solutions possible  7

什么是有效的算法？

【问题讨论】：

您已经认为它与subset sum problem 有关。它比归约的子集和问题更难（可归约）：如果有 x>0 解决方案，则接受 - 否则，拒绝。所以这个问题也是NP-Hard，在有效（多项式）的标准定义中，没有已知的有效解决方案。对于您的案例，您有其他有效的定义吗？如果是这样 - 请指定它。
@amit 为什么动态编程在这里不起作用？
@amit 我只想知道有没有多项式时间解。
这是一个相同问题的解决方案：algorithmist.com/index.php/Coin_Change
@irrelephant: 问题是 NP-Hard，DP 算法很可能会产生 pseudo polynomial 解，它不是多项式，不被认为是高效在其标准定义中。如果可以找到 NP-Hard 问题的多项式解决方案，它将证明 P=NP（可能并非如此）。

【解决方案1】：

如果目标相当小，您可以使用动态规划来获得 O(|S| * t) 解。这是 Python 中的示例代码：

def combinations(S, t):
    dp = [1] + [0] * t
    for i in S:
        for j in range(0, t - i + 1):
            dp[j + i] += dp[j]
    return dp[t]

【讨论】：