找到一个 O(n) 算法，它返回图的所有感兴趣的顶点答案

【问题标题】：Find an O(n) algorithm that returns all interesting vertices of the graph找到一个 O(n) 算法，它返回图的所有感兴趣的顶点
【发布时间】：2020-01-03 02:05:35
【问题描述】：

问题：提供了一个有 n 个顶点和一个特殊顶点 u 的有向图 G。如果存在从 v 到顶点 w 的路径使得存在包含顶点 w 和 u 的循环，我们称顶点 v 为“有趣”。编写一个 O(n) 时间算法，以 G（整个图）和节点 u 作为输入并返回所有感兴趣的顶点。

低效率的算法： 我最初的想法是考虑节点 u 并计算包含 u 的所有循环。（这本身似乎使用 DFS 遍历节点，然后在遇到访问节点时也进行前向跟踪）现在从这些循环上的每个顶点，我们可以计算图上不属于循环的节点数（ s) 但在一个循环上与每个不等于 u 的特定顶点 w 相连。添加所有这些值以获得所需的答案。这不是 O(n) 算法。

【问题讨论】：

G 是如何表示的？（如果它被表示为一个邻接列表，那么这显然是不可能的，因为可能有超过 O(n) 条边，所以仅仅读取邻接列表可能会花费超过 O(n) 的时间。我怀疑 G 的 any 表示也会有类似的情况，但具体的描述将有助于证实这一点。）
@ruakh 我不太确定。我已经复制了这个问题，没有任何修改。我们不要假设它被列为邻接列表。
能否请您澄清一下“有一条从v到顶点w的路径，因此存在一个包含顶点w和u的循环”部分？所以有一条从 v 到 w 的路径。它与包含 w 和 u 的循环有什么关系？循环应该是路径的一部分吗？
@NicoSchertler 因此，当 v 和另一个顶点 w 以 w 和 u 是图中某个现有循环的两个节点的方式连接时，顶点 v 很有趣。
@NicoSchertler：我同意它的措辞非常混乱，但我认为这是有道理的：如果存在顶点 w，则 v 是“有趣的” > 使得有一条从v 到w 的路径，以及一个包含w 和u 的循环。跨度>

标签： algorithm graph

【解决方案1】：

有两种情况：

如果没有包含 u 的环，则没有顶点可以是“有趣的”。
如果存在任何包含 u 的环，则当且仅当存在从 v 到你。（我们不必担心问题描述中的w，因为如果一个循环包含两个顶点u和w，那么任何以 u 结束的路径可以扩展为以 w 结束，反之亦然。）

因此，最有效的算法如下：

使用 DFS，确定 u 是否处于循环中。（我们不需要找到所有个循环；我们只需要确定是否有个循环。）
在“反向”方向上使用 DFS，找到 u 可到达的所有顶点。

DFS 需要 O(|V| + |E|) 时间，大于 O (n) = O(|V|) 除非 |E|在O(n);但是，没有办法在不到 |E| 的时间内读入整个图形定义。时间，所以这是不可避免的。给你这个问题的人一定没有真正想过这个问题。

【讨论】：