如何在具有不同旋转的两个坐标系之间转换点

Question

想象两个相互重叠的坐标系，两者之间的旋转和比例不同：

问题是将一个点从非旋转系统转换为另一个。我们所拥有的是形成一个矩形的四个角点，每个点的坐标对于两个系统都是已知的。我们也知道旋转差异，我想我至少也应该知道比例差异。如何将点从非旋转系统转换为旋转系统？我正在使用 Unity3D。

数学清晰的加分:)

PS：我写的很晚，为了更清楚，稍后再编辑。

Answer 1

一些线性代数可以解决问题：

将每个操作表示为一个矩阵，matrix multiply 将它们组合成一个结果矩阵（为了提高效率）。

如果涉及翻译，您需要为矩阵添加维度，请参阅homogenous coordinates。

原因是映射是仿射的，而不是线性的。您可以忽略最终结果中的额外维度。这只是将仿射映射嵌入线性映射的好方法，因此代数更容易。

例子

M = M_trans * M_rot * M_scale
x' = M x

这里的顺序是从右到左：向量 x 先缩放，然后旋转，然后转换成向量 x'。 （使用列向量）。

矩阵提示：Rotation Matrix、Scaling Matrix

对于在给定 3D 公式时导出 2D 公式：保持 z = 0 或从每个矩阵中删除第 3 行和第 3 列。