y'=y^2+1的数值解题

Question

我想用数值方法来计算奇点的微分。

例如，y'=y^2+1 和 y(0)=0。解析解不难求，y=tan(x)。

应用数值方法时出现问题，见Matlab中的代码

tspan = [0 6];
y0 = [0; 0];
ode = @(t, y) y.^2+1;
[t, y] = ode45(ode, tspan, y0);
plot(t, y(:,1))
axis([0 6 -20 20])

它给出了下面的图，即它错过了第一个奇点之后的解部分。

我的问题：如何找到具有奇异点的微分方程的完整数值解？

提前致谢！

Answer 1

这通常是不可能的。 ODE 解决方案在它发散到无穷大时结束（或以任何其他方式离开 ODE 函数的域）。

您可以做的是应用领域知识。这个方程是一个 Riccati DE。如果一个人知道一个解决方案，则可以将其转换为具有解决方案公式的伯努利 DE。在不了解特定解决方案的情况下进行第二次转换，它总是有效，但并不总是有帮助。设置y=p/q 并选择它们的关系，从而得到一个线性方程组。这里p'q-q'p=p^2+q^2 很好地解析为p'=q, q'=-p，或者作为二阶DE u''+u=0，谐波振荡器，用于u=q 或u=p。这个系统现在没有奇点，原始解 y 的极点是分母 q 的根。