3d 几何：如何插值矩阵答案

【问题标题】：3d geometry: how to interpolate a matrix3d 几何：如何插值矩阵
【发布时间】：2011-03-06 19:50:28
【问题描述】：

我将对象在 3d 空间中的位置存储在 4by4 变换矩阵中。现在为了将对象从存储在矩阵 A 中的位置移动到存储在矩阵 B 中的位置，我想对它们进行插值。

所以我只是通过对矩阵中的 16 个值中的每一个进行插值来做到这一点，还是我必须特别注意一些事情？

谢谢！

【问题讨论】：

如何将对象的“位置”存储在变换矩阵中？这是相机吗？需要更多信息。

标签： geometry matrix interpolation

【解决方案1】：

变换矩阵插值的源代码，无限制许可证，可以在WebKit项目中找到；查看名为“混合”的函数，它创建了一个插值矩阵：

for general 4 x 4 matrices

for six-element affine transforms used in 2D graphics

所有文件，包括标题，都可以在enclosing directory 中找到。

但是我刚刚尝试了 2D 仿射代码，并且在旋转之间进行插值时它不会保留旋转中心。所以我现在不太确定它是否有用。

【讨论】：

【解决方案2】：

让我重新表述你的问题：

您需要在 R0 和 R1 之间进行插值。

并建议这样做：

Ri = aR0 + (1-a)R1

正如维克多在他/她的回答中提到的那样，它不会很好地工作：你会得到倾斜和体积变形。

在数学上（在 3d 几何上下文中），加法没有多大意义：添加两个平移矩阵是什么意思？

一个既定的解决方案是插值如下：

Ri = (R1*(逆(R0)))^a*R0

我们将 R^a 定义为一个操作，它使我们围绕向量 [kx, ky, kz] 旋转 a*theta 度数。

所以当a = 0时，Ri = R0；当 a = 1 时，Ri = R1。这使得插值基于乘法，这在 3d 几何上下文中更自然。

现在是如何表示操作 R^a 的难点。事实证明，使用 R 的quaternion representation 可以表示操作 R^a。基于 Ken Shoemake 的论文animating rotation with quaternion curves

【讨论】：

【解决方案3】：

如果您对矩阵的所有 16 个条目进行插值，结果会看起来很奇怪，因为插值矩阵不会是刚性变换（您会得到倾斜和体积变形）。正确的做法是将平移和旋转/缩放分开，为您提供平移向量 T 和 3x3 旋转矩阵 R（这仅在您的原始 4x4 表示刚性变换的情况下才有效）。然后对 3x3 R=Q'DQ（tick 表示转置）进行特征值分解，得到正交 Q 和对角缩放 D。现在你线性插值 T 和 D，同时 slerp Q 的列，然后你重新组装矩阵。

【讨论】：

【解决方案4】：

查看 Ken Shoemake 和 Tom Duff 的 Matrix Animation and Polar Decomposition 。基本思想是将变换矩阵分解为有意义的组件，例如拉伸、旋转和平移，然后对它们进行插值。

【讨论】：

【解决方案5】：

我假设你要问的是，你有一个对象 x，你已经应用了一个 linear transformation A 来得到斧头，现在您想对其进行变换，使其处于应用其他变换B 时的位置，即。从 Ax 转换为 Bx。

假设A为invertible，只需应用BA^-1即可得到BA^-1（斧头） = Bx

[编辑]既然你提到了移动，你可能是在谈论affine transformation（一个线性变换，然后是一个平移）。如果是这种情况，您正在寻找搬家
从 Ax + C 到 Bx + D。

为此，减去 C（即，将对象移动到原点），应用 BA^-1，并添加 >D：
(BA^-1((Ax + C) - C)) + D = Bx + D

【讨论】：

【解决方案6】：

除非您只进行非常简单的转换（例如，平移或缩放），否则仅对矩阵值进行插值可能无法满足您的需求。

我认为有些方法可以将矩阵分解为平移、旋转、缩放等，然后您可以构建基于这些参数进行插值的新矩阵。

你也可以只做一个前后变换，然后调整对象的顶点。这也可能不会给您想要的结果。

【讨论】：