在二维平面中拟合线段答案

【问题标题】：Fitting a segment in a two-dimensional plane在二维平面中拟合线段
【发布时间】：2023-03-08 13:50:01
【问题描述】：

我遇到了以下问题

给定N x S个网格和m个平行于横轴的线段（它们都是元组(x', x'', y))，回答 Q 形式的在线查询 (x', x'')。这种查询的答案是最小的y（如果有的话），这样我们就可以放置一个段（x'，x''，y）。所有段都不重叠，但一个段的开始可以是另一个段的结束，即允许段 (x', x'', y) 和 (x'', x''', y)。能够放置分段意味着可能存在不违反规定规则的分段（x'，x''，y），实际上并未放置分段（未修改具有初始分段的板）但我们仅声明可能有一个。

约束

1 ≤ Q, S, m ≤ 10^5
1 ≤ N ≤ 10^9

Time: 1s
Memory: 256 Mb

这是来自以下链接的示例。输入段为 (2, 5, 1), (1, 2, 2), (4, 5, 2), (2, 3, 3), (3, 4, 3)。
回答问题

1) (1, 2) → 1

2) (2, 3) → 2

3) (3, 4) → 2

4) (4, 5) → 3

5) (1, 3) → 不能放置段

第三个查询的可视化答案（蓝色部分）：

我不太明白如何解决这个问题。应该是用持久段树来解决的，但是我还是想不出来。

请你帮帮我。

这不是我的作业。源问题可以在这里找到http://informatics.mccme.ru/mod/statements/view3.php?chapterid=111614。没有可用的英文版本的语句，并且测试用例以不同的方式呈现输入数据，所以不要介意源代码。

【问题讨论】：

我不明白为什么查询 (2, 3) 的答案是 2？段（2、3、2）可以放在哪里？
@yacc 由于一个段的开头可以是另一个段的结尾，所以段 (2, 3, 2) 没有问题，它会“扩展”段 (1, 2, 2) ，使它们看起来像一个单独的段（1、3、2）（认为段只是假设的，因为初始板没有改变）
也许你加个小图来说明一个例子？
问题陈述说查询是在线的 - 查看公式 a = x_i + p ， b = y_i + p ，以及 p 如何更新。如果我们事先得到所有查询，问题就容易多了。

标签： algorithm data-structures segment-tree persistent-data

【解决方案1】：

这是一个 O(N log N) 时间的解。

预备（一个很好的教程可用here）：段树，持久段树。

第 0 部分。原始问题陈述

我将简要描述最初的问题陈述，因为稍后我将用它的术语而不是抽象的片段来说话。

有一列有 S 个座位的火车 (S

在整个文本中，我用 N 表示座位数、乘客数和查询数，假设它们的数量级相同。如果需要，您可以进行更准确的分析。

第 1 部分。回答单个查询

让我们回答一个查询 [L, R]，假设在时间 R 之后没有被占用的位置。对于每个座位，我们维护它最后被占用的时间。最后叫它（S）。现在查询的答案是最小 S 使得 last(S)

但是，仅仅获得接受可能还不够。我们需要 O(log N)。回想一下，段树的每个节点都在相应的范围内存储最小值。我们从根开始。如果最小值 >= L，则此类查询没有可用座位。否则，左孩子或右孩子的最小值的最小座位

第 2 部分。解决问题

我们在席位上维护一个持久树，为每个席位存储最后一个（S）（与上一部分相同）。让我们按照他们的左端点以升序逐个处理初始乘客。对于乘客 (s_i, l_i, r_i)，我们用值 r_i 更新位置 s_i 的分段树。树是持久的，因此我们将新副本存储在某个地方。

要回答查询 [L, R]，请找到最新版本的段树，以使更新发生在 R 之前。如果对版本进行二进制搜索，则需要 O(log N) 时间。

在分段树的版本中，仅考虑左端点

【讨论】：

【解决方案2】：

声明：

输入：list<x',x'',Y>

查询输入：(X',X'')

输出：Ymin

约束：

1 ≤ Q, S, m ≤ 10^5
1 ≤ N ≤ 10^9

Time: 1s
Memory: 256 Mb

答案：

你可以使用的数据结构方法：

1.蛮力：直接遍历列表并执行检查。

2。排序：按Y [从最低到最高] 对列表进行排序，然后对其进行迭代。

注意：对大列表进行排序会很耗时。

Sort on Y
Ymin = -1                                            //Maintain Ymin
for i[0 : len(input)] :                              //Iterate through tuples
    if Ymin != -1 && Y(i-1) != Yi : return Ymin      // end case
    else if x' > X'' : Ymin = Yi                     //its on right of query tuple
    else if x'<X' && (x' + length <= X') : Ymin = Yi //on left of query tuple
    else next

3。 Hashmap ：Map<Y, list< tuple<x',length> > > 存储每个Y 的行列表，并遍历它们以获得最少的Y。

注意：地图构建需要额外的时间。

Iterate through list and build a Map 
Iterate through Map keys :
    Iterate through list of tuples, for each tuple :
        if x' > X'': Continue                            //its on right of query tuple
        else if x'<X' && (x' + length <= X') :  return Y //on left of query tuple
            else next Y

4.矩阵：你可以建立一个矩阵，1代表被占点，0代表空点。

注意：构建矩阵需要额外的时间，并且通过矩阵进行迭代非常耗时，因此没有用处。

例子：

    0 1 1 1 0 0 
    1 1 0 1 0 0
    0 1 1 1 1 0

【讨论】：