如何在 O(n log n) 时间内找到从数组中每个位置开始的最长递增序列，

Question

我们如何在 O(n log n) 时间内找到从数组的每个位置开始的最长递增子序列，我已经看到了找到在数组的每个位置结束的最长递增序列的技术，但我找不到反过来。

例如 对于序列“ 3 2 4 4 3 2 3” 输出必须是“2 2 1 1 1 2 1”

Answer 1

我做了一个快速而肮脏的 JavaScript 实现（注意：它是 O(n^2)）：

function lis(a) {
    var tmpArr = Array(),
        result = Array(),
        i = a.length;

    while (i--) {
        var theValue = a[i],
            longestFound = tmpArr[theValue] || 1;

        for (var j=theValue+1; j<tmpArr.length; j++) {
            if (tmpArr[j] >= longestFound) {
                longestFound = tmpArr[j]+1;
            }
        }
        result[i] = tmpArr[theValue] = longestFound;
    }
    return result;
}

jsFiddle: http://jsfiddle.net/Bwj9s/1/

我们从右到左遍历数组，将之前的计算保存在单独的临时数组中以供后续查找。

tmpArray 包含先前找到的以任何给定值开头的子序列，因此tmpArray[n] 将表示找到的最长子序列（在当前位置的右侧）以值 n 开头。

循环是这样的：对于每个索引，我们在tmpArray 中查找值（以及所有更高的值），看看我们是否已经找到了可以将值添加到的子序列。如果我们找到一个，我们只需将该长度加 1，更新 tmpArray 的值，然后移动到下一个索引。如果我们没有找到有效的（更高的）子序列，我们将 tmpArray 的值设置为 1 并继续。

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为了使它成为 O(n log n)，我们观察到 tmpArray 将始终是一个递减数组——它可以而且应该使用二分查找而不是部分循环。

Answer 2

编辑：抱歉，我没有完整阅读这篇文章。我认为您需要所有序列的最长递增子序列。重新编辑代码以使其工作。

我认为实际上可以在线性时间内完成。考虑这段代码：

int a[10] = {4, 2, 6, 10, 5, 3, 7, 5, 4, 10};
int maxLength[10] = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; // array of zeros
int n = 10; // size of the array;

int b = 0;


while (b != n) {
  int e = b;     
  while (++e < n && a[b] < a[e]) {} //while the sequence is increasing, ++e
  while (b != e) { maxLength[b++] = e-b-1; }
}