连接无向图中某些节点的最短路径

Question

我有一个无向和未加权图的某个节点子集。我正在尝试确定所有这些节点之间是否存在路径，如果存在，最短路径是什么，其中包含不在节点子集中的最少节点。

我一直在想办法修改最小生成树算法来实现这一点，但到目前为止我还没有想出一个可行的解决方案。

有没有好的方法可以做到这一点，或者这是对已知算法的描述？

Answer 1

我创建了一个 Graph/Node/Connection 类，它不仅可以显示最短路径，还可以告诉你是否所有节点都已连接：

var allNodesAreConnected = StartNode.AllNodes.All(n => n.IsConnectedToStartNode);

或者如果您想知道哪些节点未连接，请稍微更改一下：

var anotConnectedNodes = StartNode.AllNodes.Where(n => !n.IsConnectedToStartNode);

这篇文章中有更多示例和完整代码： Create your own navigation system (with a Graph, Node and Connection class)

Answer 2

对于没有图论背景的人，我已经解决了这个问题，发现在未加权无向图中，最简单的方法是Depth First Search。 Dijkstra 等算法的实现通常采用加权解决方案，并为权重输入任意值。

我发现可行的解决方案我在使用DFS时遍历了节点并记录了每一个成功的旅程，那么这只是一个返回最短成功旅程的案例。

这是完成繁重工作的文件： Depth First Search Algorithm

Answer 3

这里有一个方法可以帮助你：

使用Floyd-Warshall 或 Dijkstra 求每个 i 和 j 的节点 i 和节点 j 之间的距离 d(i, j)，使得节点 i 和节点 j 在节点的子集中。

（如果 d(i,j) = infinity 那么现在停止，没有解决方案）

制作一个包含子集中每个节点的新图。对于每个 d(i, j)，在新图中的节点 i、节点 j 之间添加一条边，权重 = d(i, j)

现在在这个新图上使用旅行商算法来找到访问所有节点的最短路径。

这条最短路径为您提供路径的长度，但该路径可能会多次访问某些节点。这意味着我们对所需子集之外的节点数量有一个上限。

Answer 4

您应该使用Dijkstra's shortest path algorithm。首先，您必须为图中的所有边分配权重（或距离），连接不在子集中的两个节点的每条边必须被赋予权重 1。连接子集中一个或两个节点的每条边必须被赋予无限重量。其次，您应该在结果图上运行 Dijkstra 算法。 该算法将检查图的每条边。

另外，您可以使用A* (A-star) algorithm。

更新： 起初我不明白这个问题。正如@amit 所说，这是一个 NP 难题，是 HCP 和 TSP 的组合。也许某种随机搜索算法可以在多项式时间内以高概率解决这个问题。

Answer 5

我正在尝试确定所有这些之间是否存在路径 节点

（据我了解，您正在寻找访问所有标记节点的单一路径）

我的朋友，这可能是个问题 - 您正在描述 Traveling Salesman Problem 和 Hamiltonian Path Problem 的变体（如果您正在寻找简单路径，reduction 来自哈密​​顿路径是直截了当的：标记所有节点）。
但恐怕这些问题是NP-Hard。

NP-Hard 问题是一个我们不知道任何多项式时间解决方案来解决它的问题，并且一般假设是 - 一个不存在^1支持>.

因此，您最好的选择可能是某种指数解决方案。使用动态编程的 TSP 有O(n^2 * 2^n) 解决方案，或者是O(n!) 的蛮力解决方案

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(1) 确实不是一个正式的定义，但这是足够的信息来理解问题，NP-Hard 问题确实还有很多。

Answer 6

Dijkstra 算法或使用广度优先搜索。