AVL 树：如何进行索引访问？

Question

我在AVL Tree Wikipedia page 上注意到以下评论：

“如果每个节点都额外记录了它的子树的大小（包括它自己和它的后代），那么这些节点也可以在O(log n)时间内通过索引来检索。”

我已经用谷歌搜索并找到了一些提到accessing by index 的地方，但似乎无法找到一个人会写的算法的解释。

非常感谢

[更新] 谢谢大家。如果发现 @templatetypedef 答案与 @user448810 links 之一结合起来特别有帮助。尤其是这个片段：

"这两个函数的关键是一个节点的索引是它的左孩子的大小。只要我们通过它的左孩子降序一棵树，我们只取节点的索引。但是当我们必须通过它的右子树向下移动，我们必须调整大小以包括我们排除的树的一半。”

因为我的实现是不可变的，所以在重新平衡时我不需要做任何额外的工作，因为每个节点都会在构造时计算它的大小（与 impl 链接的方案相同）

我的最终实现是：

class Node<K,V> implements AVLTree<K,V> { ...
    public V index(int i) {
        if (left.size() == i) return value;
        if (i < left.size()) return left.index(i);
        return right.index(i - left.size() - 1);
    }
}

class Empty<K,V> implements AVLTree<K,V> { ...
    public V index(int i) { throw new IndexOutOfBoundsException();}
}

这与其他实现略有不同，如果您认为我有错误，请告诉我！

Answer 1

这种构造背后的总体思路是采用现有的 BST 并通过存储左子树中的节点数来扩充每个节点。完成此操作后，您可以使用以下递归算法查找树中的第 n 个节点：

• 要查找 BST 中的第 n 个元素，其根节点的左子树中有 k 个元素：
  • 如果 k = n，则返回根节点（因为这是树中的第 0 个节点）
  • 如果 n ≤ k，递归查找左子树中的第 n 个元素。
  • 否则，在右子树中查找第 (n - k - 1) 个元素。

这需要时间 O(h)，其中 h 是树的高度。在 AVL 树中，这个 O(log n)。在 CLRS 中，这种构造被探索为应用于红/黑树，他们称这种树为“顺序统计树”。

你必须在树的旋转过程中加入一些额外的逻辑来调整左子树中缓存的元素数量，但这并不是特别困难。

希望这会有所帮助！