证明 TSP 度量的近似值答案

【问题标题】：Proving approximation for TSP-metric证明 TSP 度量的近似值
【发布时间】：2014-08-05 20:19:16
【问题描述】：

我遇到了以下问题：

考虑以下启发式：从仅包含一个顶点的游览开始。在每一步中，找到游览外部的顶点，与游览的某个顶点的距离较小。设 v 为外顶点， u 为内顶点。在游览中添加 v。假设您的边遵循三角形距离属性。我们如何证明这种启发式是 TSP 度量问题的 2 近似？

有人知道如何开始吗？

提前致谢

【问题讨论】：

我真的不明白为什么有人会投反对票...
提示：什么数学证明技术适合这样一种情况：你有一个状态，你可以假设它有一些属性，然后你以某种方式逐步修改这个状态，并希望显示结果状态继续具有这个财产？
（我不确定这种技术在这里是否有效，但很明显首先要尝试。而且我认为你不应该被否决，但它目前在 SO 中很流行解释规则尽可能地狭窄，并且在某些人看来，证明的帮助更多的是数学/ CS而不是编程。您也可以在 CS SE 网站上尝试您的问题。）
嗨@j_random_hacker，我知道你建议通过归纳来证明它。如果我的算法适用于n-1 顶点，那么当我添加一个新的顶点时，我认为我没有太多控制上一个巡演将如何重新排列自身以包含第 n 个顶点...
对，我真的不明白为什么有些人只是对这个问题投反对票而没有给出任何理由。我的意思是，其他人有可能失去兴趣看到一个被否决的问题，这是该网站的主要目标，即传播知识会丢失。不过不管怎样，谢谢你的建议，我也把它贴在了数学上。

【解决方案1】：

显然，无法证明，所描述的算法不是 2-近似。 Wikipedia article 提及该出版物

罗森克兰茨，丹尼尔 J.；斯特恩斯，理查德 E.； Lewis, Philip M., II (1977)，“旅行商问题的几种启发式分析”，SIAM Journal on Computing 6 (5): 563–581, doi:10.1137/0206041

其中作者显然表明最近邻启发式产生Theta( log n ) 的近似比，其中n 是位置的数量，即使实例满足三角不等式：

罗森克兰茨等人。 [1977] 表明 NN 算法具有满足的实例的近似因子 Theta(log|V|) 三角不等式。

但是，OP 可能描述了不同的算法；不同贪心启发式算法的逼近比分析见下文。

SIAM 计算杂志，1977 年，卷。 6，第 3 期：第 563-581 页旅行商问题的几种启发式分析 Rosenkrantz, D.、Stearns, R. 和 Lewis, II, P. (doi: 10.1137/0206041)

【讨论】：

嗨@Codor - 感谢您的帮助。确实，这是家庭作业，但我开始认为它指定错误。另外，我认为它与 NN 算法有点不同，因为据我所知，后者总是在循环结束时包含最近的顶点，而不是在其他两个之间
@user137227 感谢您迄今为止的澄清。如果您获得了一个近似比为 2 的明确贪心算法，请发布此问题的答案；我很想听听。
@user137227 请看我更新的答案；也许在包含的参考文献中分析了该算法 - 但是我无权访问该文章。