这个计算向量笛卡尔积的函数的时间/空间复杂度是多少？

Question

我无法弄清楚这个函数的时间和空间复杂度是多少。

vector<vector<string>> stringCombinations(const vector<vector<string>> &values) {
    vector<vector<string>> results = {{}};

    for(const auto &vec: values) {
        vector<vector<string>> temp;

        for(const auto &r: results) {
            for(const auto &s: vec) {
                temp.push_back(r);
                temp.back().push_back(s);
            }
        }

        results = move(temp);
    }

    for(const auto &row: results) {
        for(const auto &s: row) {
            cout << s << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return results;
}

这个函数只是字符串的笛卡尔积。给定一个字符串向量的向量，它会打印并返回这些字符串的所有组合。

当看到 3 个嵌套循环时，我立即认为它的时间复杂度大致在 O(n³) 的范围内。但是，随着函数继续运行，第二个循环的长度会发生变化。在第一次迭代时，向量中只有一个元素是空向量。在第二次迭代中，它包含长度为 1 的 n 向量，其中 n 是第一个字符串向量的长度。所以我真的不确定这会如何影响事情。

至于空间复杂度，由于用于存储结果的二维向量，我认为它在 O(m*n) 左右。我只是不确定m 和n 到底是什么。

Answer 1

计算n 长度为k 的向量的笛卡尔积的stringCombinations() 函数的复杂度为O(n * k^n)。

让v 成为函数stringCombinations() 的参数，让n 表示v.size()。令v1 ... vn 表示v 的元素，令|u|表示向量u中的元素个数。

函数计算 n 个向量 v1 ... vn 的笛卡尔积。结果向量results 的大小为|v1| * |v2| * .... * |vn|。 results 的每个元素都是一个大小为 n 的向量。令 k 表示 max(|v1|,..., |vn|)。

现在我们可以估计算法的复杂度了。令 f(i) 表示在第一次循环的第 i 次迭代中第二次循环的迭代次数。然后我们将得到 O(n * f(n) * k) 因为 k 是上受限于第三次循环的迭代次数。

对于 f(n)，我们有以下公式。如果 ki 是 vi 中的字符串个数，那么 f(i) = f(i-1) * k(i-1)。由于 f(1) = 1，很容易看出 f(n) = 1 * k1 * ... * k(n-1) = O(k^(n-1))。那么主循环的复杂度就是O(n * k^n)。

更新于 13.03.2018 让我们在这里更详细地介绍（澄清符号并修复过程中的一些错误）。在第一个循环的每次迭代中，第二个循环都会经过results 向量。在第一次迭代中，它包含 1 个元素 {}。在第二次迭代中，results 的大小等于我们用 k1 表示的第一个元素 values 的大小。在 vec = {s1,s2,...} 的第二次迭代中，每个元素 r={s} 将被替换为 k2 元素。 {s,s1},{s,s2},...，因此第二次迭代后 result 向量的大小将等于 k1 * k2。在每次后续迭代 i 之后，result 的大小将乘以 ki。这个大小将决定第一个循环的下一次迭代中第二个循环的迭代次数。所以 *f(i+1) = 1 * k1 * ... * ki.

一个例子会很方便。让values = {{"1","2"},{"3","4","5"}}。这里 n = 2。在第一次迭代开始时，我们有

   results = {{}}, vec={"1","2"}, *k1* = 2, *f(1)*=1

在第二次迭代开始时，我们有

   results = {{"1"},{"2"}}, vec={"3","4","5"}, *k2*=3, *f(2)*=2

最后我们有

   results = {{"1","3"},{"1","4"},{"1","5"},
              {"2","3"},{"2","4"},{"2","5"}}

操作次数为T = f(1) * k1 + f(2) * k2。由于 k = max(k1,k2) = 3，我们有 Tf(1) + f(2)) f(2) *2。 更新结束

还要注意results中的元素个数是O(n * k^n)，所以这也是第二个循环的复杂度.

如你所说，如果我们让 m = k^n，那么复杂度是 O(m * n ）。然而，这种表示法可能会产生误导，因为输入数组可以被视为 n by k 数组，因此最好根据输入的维度给出复杂度估计数组，所以它是 O(n * k^n)。