如何有效地计算将单位立方体映射到自身的反射和旋转？

Question

对于基于八叉树的稀疏体素八叉树渲染器，我希望能够旋转和镜像八叉树的各个节点。虽然它不是真正的八叉树，但由于节点被共享并被允许将自己包含为子树。否则我可以简单地将转换应用于八叉树本身。

不失一般性，假设立方体是一个单位立方体，一个角在原点，即 (0,0,0)，对角在 (1,1,1)。我已将立方体的角编码为 3 位整数。所以 0 (=0b000) 代表原点处的角点，1 (=0b001) 代表 (0,0,1) 处的角点，7 (=0b111) 代表 (1,1,1) 处的角点。唯一允许的旋转和反射是围绕立方体的中心 (½,½,½) 并且角将最终位于整数坐标处。这意味着只有 48 种不同的可能转换。 （第一个角可以映射到 8 个可能的位置，下一个角可以映射到 3，第三个可以映射到 2，这会固定其余角的位置。）

我还没有决定如何对转换进行编码，尽管应该可以将其编码为单个 32 位整数（甚至是 6 位整数，因为只有 48 种可能的转换）。然后可以将转换作为函数应用，该函数将立方体的每个角映射到转换后的位置。即

int transform(int corner, int transformation) {
  // magic happens here
  return result;
}

此外，我还应该有一个函数combine，它结合了转换，使得transform(corner, combine(a,b)) 等于transform(transform(corner, b), a)。

因为这些函数每秒会被调用十亿次，所以它们应该很快。虽然 transform 的调用频率大约是 combine 的 4 倍。该算法是递归的，因此如果转换编码使用多个 32 位整数，则将其放入堆栈会产生额外的运行时成本。

到目前为止，我已经发现问题可以分解为位翻转，这可以通过单个异或操作和位排列（我还不知道如何有效地完成）来完成。不过，同时执行这两种操作的操作可能会更有效。

我打算在已经使用 SSE4.1 内在函数的 C++ 代码中使用它。尽管首选不使用内在函数或仅需要 SSE3 的解决方案。最后，速度是最重要的。我会尝试使用http://quick-bench.com/ 来比较解决方案。

（注意：我使用了仿射变换标签，因为没有正交变换标签，我不想创建它）。

Answer 1

您可以将转换存储为 8 个字节的数组，该数组对立方体角的排列进行编码。 transform 方法就像数组查找一样简单。组合其中的两个转换可以在一个循环中完成，但这会相当慢。然而，事实证明 SSSE3 有一个内在函数可以在一条指令中执行此操作：_mm_shuffle_pi8。

因此，必要的方法可以实现如下：

#include <tmmintrin.h>

int transform(int corner, __m64 transformation) {
    uint8_t array[8];
    memcpy(array, &transformation, 8); // This call is optimized away by the compiler.
    return array[corner];
}

__m64 combine(T a, T b) {
    return _mm_shuffle_pi8(b, a);
}

从我的基准测试结果中，我得到了四次调用 transform 并合并一次，花费了大约 2ns 的 CPU 时间。这仍然有点慢，但如果有足够的内核，它可能是可行的。

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我还实现了一些不同的比较方法：

• 将排列打包为 int32 中的半字节（4 位整数），并使用循环计算 combine 的结果。虽然使用了一半的内存，但速度却慢了大约 3-5 倍。
• 直接使用 Milo Brandt 提出的 6 位编码。但是，我未能正确实施。
• 将允许的转换限制为仅轴对齐反射的组合。这些可以使用按位异或快速计算。这大约快 30-50%。

我创建了一个quick-bench page，虽然它不支持使用SSSE3 指令，所以我不得不禁用使用_mm_shuffle_pi8 的方法。不过，您仍然可以在本地编译和运行它们。