嵌套循环中模的时间复杂度答案

【问题标题】：Time Complexity for Modulus in Nested Loops嵌套循环中模的时间复杂度
【发布时间】：2021-05-24 18:13:36
【问题描述】：

sum=0;
for(i=1; i<n;i++)
   for( j = 1; j < i * i; j++ ) 
      if( j % i == 0 )
        for( k = 0; k < j; k++ ) 
             sum++;

我知道最外面的循环执行 n 次，下一个循环执行 n^2 次，但是我如何将 j%i 与循环分解？正确答案是 O(N^4)，但我不确定如何达到。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

由于我们知道k 循环仅在j 可被i 整除时执行（这是取模的地方），我们可以计算出k 在每个i 循环的次数循环：

i = 2, j:1..4：循环 2 次 (j=2)。
i = 3, j:1..9：循环 3 + 6 次 (j=3,6)。
i = 4, j:1..16：循环 4 + 8 + 12 次 (j=4,8,12)。
...
i = n, j:1..n*n：循环n + 2n + ... (n - 1) * n
- 或Sum(k * n, k = 1, n - 1) = n^2 * (n - 1) / 2 次。

我意识到这应该停止在i = n - 1，但这足以显示增长。

这意味着我们的复杂性是

2 + (3 + 6) + (4 + 8 + 12) + ... + (n^2 * (n - 1) / 2)
=Sum(
  i^2 * (i - 1) / 2, 
  i = 2, n - 1
)
=Sum(
  (i^3 - i^2) / 2, 
  i = 2, n - 1
)

由于 i^3 占主导地位，除以 2 无关紧要，因此它的时间复杂度与

Sum(i^3, i=2, n - 1)

这是O(n^4)。

【讨论】：