Bellman-Ford 和关于 Graph G 的一些事实？

Question

我们知道 bellman-ford 算法在每一步中检查所有边，并且对于每条边如果，

d(v)>d(u)+w(u,v)

然后更新 d(v)，使得 w(u,v) 是边 (u, v) 的权重，d(u) 是顶点 u 的最佳查找路径的长度。如果在一个步骤中我们没有更新顶点，则算法终止。假设这个算法，在k<n迭代完成后，找到从图G中顶点s到n顶点的所有最短路径，以下哪个是正确的？

1) 从s 开始的所有最短路径中的边数最多为k-1

2) 来自s 的所有最短路径的权重最多为k-1

3) 图没有负循环。

我确定其中一个是正确的，但我的助教说其中两个是正确的。对这些问题有任何想法或提示吗？

Answer 1

让我们一次一个地看一下这些语句：

1) 从s 开始的所有最短路径中的边数最多为k-1

考虑下图：

s ---e1---> n1 ---e2---> n2 ---e3---> n3

如果边按给定的顺序排列 (e1, e2, e3)，那么在第一次迭代后，您将获得每个节点的正确距离（检查 e1 更新 n1，然后检查 e2 更新 n2 和很快）。所以在这种情况下，算法在k=2 迭代后停止，因为第二次迭代没有改变任何东西。最长最短路径中的边数为3，而3 <= 2-1 不成立。因此，这种说法是错误的。但是，如果同时评估所有边，则该语句是正确的（每次迭代只能比上一次迭代更远一条边）。

2) 来自s 的所有最短路径的权重最多为k-1

边的数量和它们的总权重都不受k-1 的限制。考虑上例中所有边的权重为 1000。很明显与k 没有任何连接。

3) 图没有负循环。

如果您像以前那样定义算法（在没有进行任何更改时终止），那么这是正确的。任何负循环都会导致无限循环，因为这个循环中顶点的距离会不断减小。