有方向约束的旅行推销员答案

【问题标题】：Travelling salesman with a directional constraint有方向约束的旅行推销员
【发布时间】：2017-01-04 20:18:16
【问题描述】：

我正在尝试按路径上的顺序排列一组 3D 坐标。一个样本：

points = np.array([[ 0.81127451,  0.22794118,  0.52009804],
                   [ 0.62986425,  0.4546003 ,  0.12971342],
                   [ 0.50666667,  0.41137255,  0.65215686],
                   [ 0.79526144,  0.58186275,  0.04738562],
                   [ 0.55163399,  0.49803922,  0.24117647],
                   [ 0.47385621,  0.64084967,  0.10653595]])

这些点的顺序是随机的，但始终只有一条路径通过它们。我正在使用LKH solver (Helsgaun 2009) 找到适合旅行商问题 (TSP) 解决方案的路径。它涉及两个修改：

在原点或原点附近添加一个点。这在我迄今为止处理的每个实例中都找到了最佳起点。这是我的想法，我没有其他依据。
在距每个点零距离处添加一个点。这使求解器找到通往路径另一端的路径。这个想法来自this SO question。

注意，TSP 不涉及位置，只涉及节点之间的距离。所以求解器确实“知道”（或关心）我正在使用 3D。我只是像这样制作一个距离矩阵：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform

# Add a point near the origin.
points = np.vstack([[[0.25, 0, 0.5]], points])
dists = squareform(pdist(points, 'euclidean'))

# Normalize to int16s because the solver likes it.
d = 32767 * dists / np.sqrt(3)
d = d.astype(np.int16)

# Add a point that is zero units from every other point.
row, col = d.shape
d = np.insert(d, row, 0, axis=0)
d = np.insert(d, col, 0, axis=1)

我将其传递给my fork of pytsp，后者将其传递给 LKH 求解器。一切都很好......除了路径交叉时。 TSP 解决方案不能有闭环，所以我总是得到右侧显示的开环：

请注意，这是我的情况的类似 2D 版本。另请注意，这些点未完全对齐，即使沿着“直”位也是如此。

所以我的问题是：我怎样才能帮助求解器尽可能保持路径的方向？我有两个不正确的想法，但到目前为止无法实现任何东西：

使用其他指标而不是 L2。但我认为这行不通，因为在给定的路口，“错误”点没有本质上的不同。它的错误取决于前一点。而且我们还不知道哪一点是前一点（这就是我们想要弄清楚的）。所以我认为这不好。
评估每组三个点的局部共线性（例如，使用每个三元组的行列式）。通过这个共线性系数调制局部“3D 斜率”（不确定我的意思）。给每个点另一个维度来表达这种局部对齐。现在，规范将反映局部对齐，并且（希望）大致共线的事物将连接起来。

我已将这些文件放在 Dropbox 上：

感谢您的阅读；任何想法表示赞赏。

参考

K。 Helsgaun，Lin-Kernighan TSP 启发式的通用 k-opt 子动作。数学规划计算，2009，doi: 10.1007/s12532-009-0004-6.

【问题讨论】：

如果你有一个你想要解决的特定问题，并且你有能力做一些迭代定制的“干预”，你可以运行你的代码一次，确定哪些点应该是邻居路径，手动覆盖它们在dists 数组中的距离以使它们看起来更近，重新运行算法，识别应该是邻居的任何其他点，等等。当然，如果您将重复解决问题的不同实例并且您需要一个在没有额外干预的情况下“正常工作”的求解器，这个想法没有帮助。
@WarrenWeckesser 谢谢你的想法。我尝试使用 BallTree 来获得局部密度，这确实突出了这些问题区域。从理论上讲，我可以尝试在密集的地方重新布线。但是，是的——我仍然希望有一个技巧可以用来回避那种事后的摆弄。目前，这是我的后备方案。干杯！
这看起来不像是旅行商问题。你有一个隐含的目标函数，它与路径的长度不同。也许你可以从明确你的目标函数开始。像总长度+所有方向变化幅度的总和。方向变化需要计算 3 个连续的点（这就是我说它看起来不像 TSP 的原因）。一旦明确了目标函数，就可以使用通用启发式算法，例如进化算法。
@JohnColeman 感谢您的意见。我同意这感觉离 TSP 太远了，无法继续沿着这条路走下去。我从来没有以你之前描述的方式解决过问题；如果您能指出一个简单的例子，我将不胜感激。同时我将启动谷歌。向上 + 向上！
您选择点的公式需要结合加权方向和距离，因此直线的得分低于转弯的得分。将矩阵视为函数矩阵。计算复杂度的水平以矩阵大小的幂迅速上升。交叉点被优化为这两条曲线交叉点的最小值的两个公式线性问题。由于距离与方向在您的公式中以某种方式加权，例如通过一个常数，以防止它转动，在一定距离它会转动我认为您想要的。希望这会有所帮助。

标签： python numpy linear-algebra graph-algorithm traveling-salesman

【解决方案1】：

从 pytsp 上的文档来看，距离矩阵不一定是对称的。这意味着您可以修改 L2 范数以将有关首选方向的信息合并到该矩阵中。假设您有一些点对 (i,j) 的首选方向，那么对于这些点中的每一个，您可以将 dists[i,j] 除以 (1+a) 并将 dists[j,i] 乘以 (1+a) 以使该方向更有利。这意味着，如果您的算法确定找到全局最优值，您可以通过使a 足够大来强制它满足您的首选方向。

另外，我不确定在距离矩阵取自 3D 数据的解决方案中不可能有闭环。在我看来，“无闭环”是 2D 特有的（三角形不等式的）结果。

【讨论】：

感谢您的回答。我认为你对 3D 中的三角形不等式的观察很准确——事实上，路径并没有完全交叉。至于非对称距离矩阵……我也没有想过。我需要尝试一下，看看它是否有帮助。棘手的是，我事先不知道我想在哪个方向遍历图表的给定部分。干杯！