我读过诸如加法/减法之类的运算是线性时间，而“小学”长乘法是 n^2 时间。为什么这是真的？
当n是较小的操作数时，不是加法floor(log n)次吗？同样的论点也适用于减法和乘法，如果我们编写一个程序来进行长乘法而不是将整数加在一起，那么复杂度不应该是floor(log a) * floor(log b)，其中 a 和 b 是操作数吗？
【问题讨论】：
标签： big-o time-complexity multiplication
答案取决于什么是“n”。当他们说加法是 O(n) 而乘法（使用朴素算法）是 O(n^2) 时，n 是数字的长度，以位或其他单位为单位。使用此定义是因为任意精度算术是作为“数字”列表（不一定以 10 为基数）的操作实现的。
如果 n 是要相加或相乘的数字，只要数字存储在 log n 空间中，复杂度将是 log n 和 (log n)^2（对于正 n）。
【讨论】：
（例如）273 x 12 的简单乘法方法扩展为（使用分配规则）(200 + 70 + 3) x (10 + 2) 或：
200 x 10 + 200 x 2
+ 70 x 10 + 70 x 2
+ 3 x 10 + 3 x 2
这种简化的想法是将乘法简化为可以轻松完成的事情。对于您的小学数学，假设您知道从零到九的乘法表，那将与数字一起使用。对于每个“数字”可能是 0 到 9999 之间的值（为了便于十进制打印）的 bignum 库，同样的规则适用，能够相对恒定地将小于 10,000 的数字相乘）。
因此，如果n 是位数，那么复杂度确实是O(n<sup>2</sup>)，因为“常量”操作的数量往往会随着“位数”计数的乘积而增加。
即使您对数字的定义略有不同（例如从 0 到 9999 的值，甚至是二进制数字 0 或 1 之一）也是如此。
【讨论】：
n 的特定结果。在这种情况下，您可以将其视为数字中的位数，因为它们都增加。由于您必须将一个数字中的每个数字乘以另一个数字，因此乘法的数量实际上是两个数字的计数相乘。你得到六的原因是因为我们将三位数乘以二，但这并不复杂。