我正在研究算法复杂性分析。我有不符合的问题或C(n, k)。
int C(int n, int k){
if(n==k || k==0)
return 1;
return C(n-1, k) + C(n-1, k-1);
}
如何确定其执行复杂度或T(n)？
【问题讨论】：
if(n==k || k==0)？ 0 不见了。
标签： c++ recursion complexity-theory time-complexity
你要找的重复是
T(n,k) = T(n-1,k) + T(n-1,k-1) + O(1) 与 T(n,n) = T(n,0) = O (1)
显然 n 每一步都减一。如果我们忽略（暂时）有一个参数 k，那么基本上每一步调用的数量都会翻倍。这发生了 n 次，直到 n = 1。现在 C(1,k) 返回 1。所以您最多调用 C(n,k) 2n 次。所以 C(n,k) 在 O(2n) 中。
现在我们记住了 k。 k 最坏的情况是什么？也许 k = n/2（对于偶数 n）。您可以看到，在任何递归调用中，在 k 达到 1 或 n 达到 n/2 之前，您至少需要 n/2 步。所以调用次数至少翻了 2n/2 次。但是还有更多的电话。写下来是一项相当多的工作。
编辑 1 那么让我们来看看这张照片
您开始调用 C(n,n/2)（n=6）。灰色三角形是包含在 n/2 个“步骤”中的部分，直到您到达拐角（C(n,0) 或 C(n,n)）first。但是正如你所看到的，还有更多的调用。我标记了调用，其中递归以蓝色框停止，并用绿色数字写下了调用特殊 C(n,k) 的数字。
编辑 2 C(n,k) 的值和返回值 1 的 C(n,k) 的调用次数是相同的，因为函数只返回值 1（或递归调用的结果）。 在示例中，您会看到写在蓝色框中的绿色数字的总和，即调用次数，总和为 20，这也是 C(6,3) 的值。
编辑 3 由于一个 C(n,k) 调用中的所有操作都在 O(1)（恒定时间）内运行，因此我们只需计算调用次数即可获得复杂度。注意：如果 C(n,k) 包含在 O(n) 中运行的操作，我们必须将调用次数乘以 O(n) 才能得到复杂度。
您还会注意到与Pascal's triangle 的连接。
算法 C(n,k) 通过加 1 来计算 Binomial coefficient。通过使用Stirling's approximation，您可以看到，C(n,n/2) ≈ 2n/sqrt(n) （为了简化省略了一些常量）。 所以算法必须添加那么多的 1，所以它的复杂度为 O(2n/sqrt(n))。
【讨论】：