如何在有向图中找到路径的概率？答案

【问题标题】：How to find probability of path in a directed graph?如何在有向图中找到路径的概率？
【发布时间】：2016-08-30 06:44:25
【问题描述】：

我有一个有向加权图 G=(V,E)。

在这个图中，边(v[i],v[j]) 的权重是 v[i] 和 v[j] 之间的转换计数。

我正在尝试确定完成任务的最佳方法：如何找到从节点 A 到节点 B 的路径的概率 P

所有权重都是正整数。

例如，

weight(A,B)=count of transition from A to B
weight(B,C)=count of transition from B to C
weight(B,D)=count of transition from B to D
weight(D,C)=count of transition from D to C

我们有几种路径：

A->B->C 
A->B->D->C

那么，如何计算这些路径的概率 P 并选择最佳路径？

【问题讨论】：

目前还不清楚概率应该从哪里来。 “过渡计数”是什么意思？是什么让一条路径成为最好的？您没有向我们提供足够清晰的问题陈述，以便我们回答问题。
@user2357112 例如，转换的计数 - 从 A 到地方 B 的转换数。最佳路径是概率最大的路径。我试图解决这个问题：P=属于这条路径的边的权重之和。但是我有一个问题，最大长度的路径概率最大，但这是错误的

标签： algorithm graph graph-theory weighted

【解决方案1】：

假设我们确实在讨论概率（这意味着每个权重都在[0,1] 范围内），可以通过将问题简化为shortest path problem 来解决。

设图为G=(V,E)，两个顶点之间的概率记为w(u,v)。

定义： w'(u,v) = -log(w(u,v))

当使用w'作为权重函数时，从某个节点s到某个节点t的最短路径就是图中的最短路径。您可以使用Dijkstra's algorithm 或Bellman-Ford algorithm 找到最短路径

证明：

对于路径v1->v2->...->vn，其概率为w(v1,v2) * w(v2,v3) * ... * w(vn-1,vn)。

当使用w'作为权重时，使用任何最短路径算法时这条路径的代价是：

d(v1,vn) = w'(v1,v2) + w'(v2,v3) + ... + w'(vn-1,vn) = 
d(v1,vn) = -log(w(v1,v2)) + -log(w(v2,v3) + ... + -log(w(vn-1,vn)) = 
d(v1,vn) = -1* [ log(w(v1,v2)) + log(w(v2,v3)) + ... + log(w(vn-1,vn)) =
d(v1,vn) = -1* log(w(v1,v2) * w(v2,v3) * ... * w(vn-1,vn))

这显然也适用于从s 到t 的最小路径。
这意味着这条路径的最小值为：

s(s,t) = -1* log(w(s,v2) * w(v2,v3) * ... * w(vn-1,t))

而且由于log是单调函数，所以也是-1 * w(s,v2) * w(v2,v3) * ... * w(vn-1,t)的最小值，也就是w(s,v2) * w(v2,v3) * ... * w(vn-1,t)的最大值，这就是概率。

【讨论】：

这看起来相当复杂。我建议您使用数组表示法 v[i] 代替 vi （实际上代替 OP 中的 v_i ）。我建议添加对“对数”技巧的引用。我建议删除过度解释的行，因为它使答案看起来比实际上更难。另外，我猜你假设了某种独立性，应该明确说明。
@amit w'(u,v) value in range([0;1]) ?如果我有 w(u,v) = 从节点 u 到节点 v 的转换计数，如何获得 w'(u,v)？
@Andrei -log(count of transitions from node u to node v)，正如一般w(.,.)所说的那样。
@amit 我有个误会，现在权重会在 [0;1] 中如何？
@Andrei 道歉，距您的问题给出答案已过去 3 周。你是对的，在这种情况下，你需要以某种方式将其标准化为[0,1]。一种方法是定义w(u,v) = #transitions from u to v / #transition from u to any node，或您能想到的任何其他规范化。如果没有 [0,1] 范围，这是一个非常困难的问题，如果我没记错的话，它相当于最长路径问题（即 NP 完全问题）。