什么是大型拉普拉斯矩阵的快速简单求解器？答案

【问题标题】：What is a fast simple solver for a large Laplacian matrix?什么是大型拉普拉斯矩阵的快速简单求解器？
【发布时间】：2013-06-28 09:37:37
【问题描述】：

我需要求解电阻网络研究中出现的一些大型 (N~1e6) 拉普拉斯矩阵。其余的网络分析正在使用 boost 图进行处理，如果可能的话，我想留在 C++ 中。我知道有很多很多 C++ 矩阵库，但似乎没有人在速度或可用性方面是明确的领导者。此外，关于这个主题的许多问题，在这里和其他地方似乎很快就变成了实用性有限的洗衣清单。为了帮助自己和他人，我会尽量保持问题的简洁性和可回答性：

可以有效处理以下要求的最佳库是什么？

矩阵类型：对称对角显性/拉普拉斯矩阵
大小：非常大 (N~1e6)，无需动态调整大小
稀疏性：极端（每行/列最多 5 个非零项）
需要的操作：求解 A*x=b 中的 x 和 mat/vec 相乘
语言：C++（没问题）
优先级：代码的速度和简单性。我真的宁愿避免为这个问题学习一个全新的框架，或者不得不手动编写太多的帮助代码。

非常喜欢用一个最小的工作示例来回答......

【问题讨论】：

我相信 KLU 非常适合您的需求：cise.ufl.edu/research/sparse/klu

标签： c++ linear-algebra sparse-matrix numerical-methods

【解决方案1】：

有很多相关的帖子，你可以看看。我会推荐 UMFPACK and BOOST's uBLAS Sparse Matrix 中使用的 C++ 和 Boost::ublas

【讨论】：

【解决方案2】：

Eigen 非常好用，是我所知道的最快的库之一：

http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialSparse.html

【讨论】：

【解决方案3】：

如果您想编写自己的求解器，就简单性而言，很难击败Gauss-Seidel 迭代。更新步骤是一行，并且可以很容易地并行化。 Successive over-relaxation (SOR) 只是稍微复杂一些，收敛速度更快。

Conjugate gradient 也易于编码，并且应该比其他迭代方法收敛得更快。需要注意的重要一点是，您不需要形成完整的矩阵 A，只需计算矩阵向量乘积 A*b。一旦它起作用了，您可以通过添加像 SSOR (Symmetric SOR) 这样的预处理器来再次提高收敛率。

可能最适合自己编写的最快求解方法是基于傅立叶的求解器。它本质上涉及取右侧的 FFT，将每个值乘以其坐标的函数，然后取逆 FFT。您可以使用 FFTW 之类的 FFT 库，也可以使用自己的库。

Arieh Iserles 的 A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations 是所有这些的一个很好的参考。

【讨论】：