FFT之前或之后归一化信号之间有什么区别？

Question

我正在使用 Libgdx 库对 Android 应用中的加速度计信号进行 FFT。

我需要对信号进行归一化，因为我找到了两个信号的点积，我想要它的最大值 1。

“标准化”是指信号的欧几里得范数为1。 （欧几里得范数是向量模拟分量乘积之和的平方根。当我找到它的值时，为了归一化信号，我将向量的所有分量除以范数）。

点积在频谱中，所以如果我在时域对信号进行归一化，频谱表示不是欧几里德归一化，那么我将再次进行欧几里得归一化。 （我已经考虑在 FFT 之后按 1/N 比例因子进行归一化，我认为这可能不会影响我的问题）。

如果我在 FFT 之前和之后进行欧几里得归一化，或者我只在 FFT 之后进行，有什么区别？

编辑 1：还要考虑 Libgdx 库中的 FFT 是复杂 DFT，并且我输入的实信号比输出信号对于 0 到 (N/2)-1 和 N/2 到 N 是对称的。 如果我不应用任何窗口（如 Hamming 窗口），我会验证 Parseval 定理是否得到验证。 那么，如果我使用 0 到 N/2-1 个信号分量，我会得到 0 到 1 之间的点积吗？

Answer 1

嗯，似乎没有人回答这个问题。不知道为什么，但我会简单地说一下。

令 f[n] 为信号，F[k] 为傅里叶变换版本（显然是离散的）。

Parseval's theorem，我们知道：

  norm(f[n]) = (1/N) norm(F[k])

其中 N 是样本数。通过傅里叶变换的齐次性，如果g[n]=a f[n]，则G[k] = a F[k]。

最后，结合这两者，为了让 norm(F[k]) 为 1，你需要做的就是除以：

 (1)      norm(F[k]) = N norm(f[n])

在时域或频域中。

类似的，如果你想让 norm(f[n]) 为 1，你需要做的就是除以：

 (2)      norm(f[n]) = (1/N) norm(F[k])

最后：

如果我在 FFT 之前和之后进行欧几里得归一化，或者我只在 FFT 之后进行，有哪些区别？

因为傅立叶变换是线性的（并且保持同质性），所以无论您在之前还是之后进行划分都没有区别。但是，如果您希望时域的范数为 1，那么您应该使用 (2) 中的常数。另一方面，要使频域范数为 1，则应在 (1) 中使用常数。