Kruskal 算法的变体

Question

假设 G 是一个有 n 个顶点的无向图，每对顶点之间都有带权边。你能用以下结构构造一棵树吗：

v_1-v_2-v_3-...-v_n 使得树中的每个节点对应于 G 中的一个顶点，并且每个节点除了叶子之外只有一个子节点。树边的总权重也被最小化了。

如果使用类似于 Kruskal 算法的算法：按升序对原始图中所有边的权重进行排序。从权重最小的边开始，如果添加这条边不违反上述树结构，则将这条边添加到最终的树中，否则，继续下一条。

这个算法能给出最小权重的树吗？如果没有，是否有可能找到一种算法来得到这棵树？

Answer 1

可以，但可能不行。考虑一个具有如下边权重的 4 节点图：

AB:   3
AC:   1
AD: 100
BC:   2
BD: 100
CD:   2

最小树是长度为 7 的 ABCD，但您的算法将始终从（长度为 1）边 AC 开始，这不是所需的最小树的一部分。