我想用以下约束计算 nCk mod m：
n
k
m=10^9+7
我读过这篇文章：
Calculating Binomial Coefficient (nCk) for large n & k
但是这里 m 的值是 1009。因此使用卢卡斯定理，我们只需要计算 1009*1009 个不同的 aCb 值，其中 a,b
如何在上述约束下做到这一点。 我不能在给定的约束条件下创建一个 O(m*k) 空间复杂度的数组。
救命！
【问题讨论】：
标签： c++ algorithm modulus modular-arithmetic binomial-coefficients
(n, k)的二项式系数由以下公式计算：
(n, k) = n! / k! / (n - k)!
要使此功能适用于大量 n 和 k 模 m 请注意：
模数 m 的阶乘可以逐步计算，在
每一步都会得到结果% m。但是，如果 n 达到 10^18，这将太慢。因此，faster methods 的复杂性受模数限制，您可以使用其中的一些。
除法(a / b) mod m 等于(a * b^-1) mod m，其中b^-1 是b 模m 的倒数（即(b * b^-1 = 1) mod m）。
这意味着：
(n, k) mod m = (n! * (k!)^-1 * ((n - k)!)^-1) mod m
使用Extended Euclidean algorithm 可以有效地找到数字的倒数。假设您已经解决了阶乘计算，那么算法的其余部分很简单，只需注意乘法时的整数溢出。这是适用于n=10^9 的参考代码。为了处理更大的数字，应该用更有效的算法替换阶乘计算，并且应该稍微调整代码以避免整数溢出，但主要思想将保持不变：
#define MOD 1000000007
// Extended Euclidean algorithm
int xGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int x1, y1, gcd = xGCD(b, a % b, x1, y1);
x = y1;
y = x1 - (long long)(a / b) * y1;
return gcd;
}
// factorial of n modulo MOD
int modfact(int n) {
int result = 1;
while (n > 1) {
result = (long long)result * n % MOD;
n -= 1;
}
return result;
}
// multiply a and b modulo MOD
int modmult(int a, int b) {
return (long long)a * b % MOD;
}
// inverse of a modulo MOD
int inverse(int a) {
int x, y;
xGCD(a, MOD, x, y);
return x;
}
// binomial coefficient nCk modulo MOD
int bc(int n, int k)
{
return modmult(modmult(modfact(n), inverse(modfact(k))), inverse(modfact(n - k)));
}
【讨论】：
modfact 将“永不”停止 n = 10^18
首先，您无需预先计算和存储所有可能的 aCb 值！它们可以按案例计算。
其次，对于 (k
(n 选择 k) mod m = ((n mod m) 选择 k) mod m
那么由于 (n mod m)
【讨论】：
只要使用事实
(n, k) = n! / k! / (n - k)! = n*(n-1)*...*(n-k+1)/[k*(k-1)*...*1]
所以你实际上只有2*k=2*10^5 因子。对于数字的倒数，您可以使用 kfx 的建议，因为您的 m 是素数。
【讨论】：
我们要计算 nCk (mod p)。我会在 0
威尔逊定理指出，对于素数 p，(p-1)！ = -1 (mod p)，或等价的 (p-2)！ = 1 (mod p)（除法）。
除法：(k!)^(-1) = (p-2)!/(k!) = (p-2)(p-3)...(k+1) (mod p)
因此，二项式系数为 n!/(k!(nk)!) = n(n-1)...(n-k+1)/(k!) = n(n-1)。 ..(n-k+1)(p-2)(p-3)...(k+1) (mod p)
瞧。你不必做任何逆向计算或类似的事情。编码也相当容易。需要考虑的一些优化：（1）您可以将 (p-2)(p-3)... 替换为 (-2)(-3)...； (2) nCk 在 nCk = nC(n-k) 的意义上是对称的，因此请选择需要您进行较少计算的一半。
【讨论】：